[論文レビュー] The Heyde characterization theorem on some locally compact Abelian groups

Gennadiy Feldman|arXiv (Cornell University)|Feb 7, 2017

advanced mathematical theories参考文献 14被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、局所コンパクトなアーベル群におけるヘイド・特徴付け定理の群論的類似を確立し、条件 $\operatorname{Ker}(I + \alpha) = \{0\}$ の下で、$L_2 = \xi_1 + \alpha\xi_2$ の $L_1 = \xi_1 + \xi_2$ に対する条件付き分布の対称性が、このような群上のガウス分布を特徴付けることを証明する。この結果は、実数直線上の古典的ヘイド定理を一般の局所コンパクトアーベル群へ拡張したものであり、自己同型に関する条件と2階捩れ元の不在を仮定する。

ABSTRACT

By the Heyde theorem, the Gaussian distribution on the real line is characterized by the symmetry of the conditional distribution of one linear form of of $n$ independent random variables given another. When $n=2$ we prove analogues of this theorem in the case when independent random variables take values in a locally compact Abelian group $X$ and coefficients of the linear forms are topological automorphisms of $X$.

研究の動機と目的

• 実数値の i.i.d. 確率変数に対して元々成立していた古典的ヘイド特徴付け定理を、局所コンパクトアーベル群の設定に一般化すること。
• 線形形式 $L_2 = \xi_1 + \alpha\xi_2$ の $L_1 = \xi_1 + \xi_2$ に対する条件付き分布の対称性がガウス分布を特徴付けるための、位相的自己同型 $\alpha$ に関する必要十分条件を同定すること。
• 群に非ゼロの2階捩れ元を含まない限り、条件 $\operatorname{Ker}(I + \alpha) = \{0\}$ が、この特徴付けに対して必要かつ十分であることを確立すること。
• 有限コンパクト部分群が2階捩れ元を含まない群に対しても特徴付けを拡張すること、および特性関数が消えない場合の解析を含めること。

提案手法

• 局所コンパクトアーベル群の双対性理論を用い、特性群 $Y$ と $Y$ 上の随伴自己同型 $\tilde{\alpha}$ を考察する。
• 変換された線形形式 $M_1$ と $M_2$ の独立性から導かれる関数方程式に、有限差分法を適用する。
• 対称性条件を特性関数 $\hat{\mu}_1$ と $\hat{\mu}_2$ を含む関数方程式に変換し、特性群内で式 (33) を得る。
• $\psi_j(y) = -\log|\hat{\mu}_j(y)|^2$ を導入することで、乗法的関数方程式を加法的関数方程式に変換し、有限差分作用素の適用を可能にする。
• $\Delta_h^3 P(y) = 0$ の恒等式を用いて、$P(y)$ が二次関数方程式を満たすことを示し、これにより元の分布がガウス分布であることを示す。
• Cramér型の分解定理（補題9）を用いて、ガウス分布が畳み込みとして分解される場合、両方の成分がガウス分布であることを結論づける。この結論は、$X$ が $\mathbb{T}$ に位相的に同型な部分群を含まないという仮定の下で成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所コンパクトアーベル群 $X$ の位相的自己同型 $\alpha$ について、$L_2 = \xi_1 + \alpha\xi_2$ の $L_1 = \xi_1 + \xi_2$ に対する条件付き分布の対称性が $\xi_1$ と $\xi_2$ の分布がガウス分布であることを示すための条件は何か？
• RQ2 $\operatorname{Ker}(I + \alpha) = \{0\}$ が、非ゼロの2階捩れ元を含まない群上でのヘイド型特徴付けに対して必要かつ十分であるか？
• RQ3 有限コンパクト部分群が2階捩れ元を含まない群に対しても、特徴付け結果を拡張できるか？
• RQ4 特性関数 $\xi_1$ と $\xi_2$ が消えない場合、$I \pm \alpha \in \operatorname{Aut}(X)$ よりも弱い条件で特徴付けが保たれるか？

主な発見

• 第二可算な局所コンパクトアーベル群 $X$ で、非ゼロのコンパクト元も2階捩れ元も持たない場合、条件 $\operatorname{Ker}(I + \alpha) = \{0\}$ は、$L_2$ の $L_1$ に対する条件付き分布の対称性がガウス分布を特徴付けるために必要かつ十分である。
• 条件付き分布の対称性は、線形形式 $M_1 = (I + \alpha)\xi_1 + 2\alpha\xi_2$ と $M_2 = 2\xi_1 + (I + \alpha)\xi_2$ の独立性を示し、これにより特性群内で関数方程式が導かれる。
• 特性関数に有限差分法を適用することで、関数 $P(y)$ と $Q(y)$ が二次関数方程式を満たすことが示され、これにより元の分布がガウス分布であることが示される。
• Cramér型の分解定理（補題9）を用いることで、ガウス分布が2つの分布の畳み込みとして表される場合、両方の成分がガウス分布であることが保証される。この結論は、$X$ が $\mathbb{T}$ に位相的に同型な部分群を含まないという仮定の下で成り立つ。
• 特性関数 $\xi_1$ と $\xi_2$ が消えない場合でも、$X$ に2階捩れ元がなく、$\alpha$ が $\operatorname{Ker}(I + \alpha) = \{0\}$ を満たす限り、この結果は成立する。
• 証明は、$Y^{(2)}$ と $(I + \tilde{\alpha})(Y)$ が $Y$ で稠密であることに依存しており、前者は2階捩れ元の不在、後者は条件 $\operatorname{Ker}(I + \alpha) = \{0\}$ に由来する。