[論文レビュー] The high-level error bound for shifted surface spline interpolation

Lin-Tian Luh|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2006

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、偶数次元空間におけるシフト表面スプライン補間の新たな誤差上限を提示する。既存の O(d^l) の上限を改善し、充填距離 d → 0 のとき指数的減衰率 O(ω^{1/d}) を達成する。主な貢献は、変分枠組みと測度に基づく解析を用いた、より鋭い計算可能な誤差推定である。ω < 1 は幾何的・解析的パラメータから明示的に計算可能である。

ABSTRACT

Radial function interpolation of scattered data is a frequently used method for multivariate data fitting. One of the most frequently used radial functions is called shifted surface spline, introduced by Dyn, Levin and Rippa in \cite{Dy1} for $R^{2}$. Then it's extended to $R^{n}$ for $n\geq 1$. Many articles have studied its properties, as can be seen in \cite{Bu,Du,Dy2,Po,Ri,Yo1,Yo2,Yo3,Yo4}. When dealing with this function, the most commonly used error bounds are the one raised by Wu and Schaback in \cite{WS}, and the one raised by Madych and Nelson in \cite{MN2}. Both are $O(d^{l})$ as $d o 0$, where $l$ is a positive integer and $d$ is the fill-distance. In this paper we present an improved error bound which is $O(ω^{1/d})$ as $d o 0$, where $0

研究の動機と目的

• 偶数次元の R^n におけるシフト表面スプラインを用いた径数基底関数補間の、より鋭い誤差上限の開発。
• 充填距離 d における指数的減衰を達成することで、既存の O(d^l) 誤差上限の限界を克服すること。
• 誤差項 O(ω^{1/d}) における計算可能な定数 ω < 1 の提供により、実用的な誤差推定を可能にすること。
• 滑らかな関数への理論的厳密性と適用可能性を保証する、空間 C_{h,m} の変分枠組みにおける境界の確立。

提案手法

• 径数基底関数のフーリエ変換と測度表現を含む積分不等式に基づく空間 C_{h,m} に依存する変分枠組みを用いる。
• 補題 1.1 を適用し、立方体上での多項式成長を離散点集合を用いてバインドすることで、一様なサンプリング条件を保証する。
• 全 variation が e^{2nγ_n k} で制御される離散集合 X 上に台を持つ符号付き測度 σ を構築し、補間誤差推定を可能にする。
• フーリエ解析的手法を用いて、シフト表面スプライン h に関連する測度 μ を介して関数 f とその補間関数 s の関係を関係付ける。
• 測度の双対ノルムと幾何的パラメータを用いて、|f(x) - s(x)| の L2 型ノルムの推定により点ごとの誤差上限を導出する。
• δ = 2d として δ に基づく境界を d に基づく充填距離に変換し、最終的に O(ω^{1/d}) の形をとる。ここで ω = (2/3)^{1/(3Cγ_n)} である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 充填距離 d が小さいとき、シフト表面スプライン補間の誤差上限は、標準的な O(d^l) のレートを上回って改善可能か？
• RQ2 d → 0 のときの誤差の最適減衰率は何か？ また、計算可能な定数 ω < 1 を用いて表現可能か？
• RQ3 C_{h,m} の変分枠組みは、径数基底関数補間のより鋭い点ごとの誤差推定を導出するためにどのように活用可能か？
• RQ4 偶数次元空間において、このような境界が存在するための幾何的・解析的条件は何か？

主な発見

• 本稿では、|f(x) - s(x)| ≤ C · ω^{1/d} · ||f||_h の形の新たな誤差上限を確立する。ここで 0 < ω < 1 は問題のパラメータから明示的に計算可能である。
• 減衰率 ω^{1/d} は、特に d → 0 のとき、古典的な O(d^l) の上限よりも著しく速い。
• 定数 ω は ω = (2/3)^{1/(3Cγ_n)} として導出され、C と γ_n は次元とサンプリングの一様性に依存する。
• 境界は、領域 E の任意の辺の長さが 2d の部分立方体に X の少なくとも1点が含まれるという、やや緩い幾何的条件のもとで成立する。
• 結果は、h(x) = (-1)^m(|x|^2 + c^2)^{λ/2} log(|x|^2 + c^2)^{1/2} で定義される偶数次元におけるシフト表面スプラインに対して有効であり、λ ∈ Z_+, m = 1 + λ/2 である。
• フレームワークは頑健であり、一般化フーリエ変換を特徴とする空間 C_{h,m} に属する関数へも拡張可能であり、Wu と Schaback (1993) が提唱した以前の関数空間とは異なる。