[論文レビュー] The higher order fractional Calder\'on problem for linear local operators: uniqueness

Giovanni Covi, Keijo Mönkkönen+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2020

Numerical methods in inverse problems参考文献 44被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、分数マトロイドシュレーディンガー方程式の高次局所摂動における係数の一意性を、外部ディリクレ・トゥ・ノイマン（DN）写像を用いて確立する。ソボレフ乗数空間とランゲ近似を活用することで、m < 2s である線形微分作用素（PDO）の係数が一意に特定されることを証明し、零次および一次摂動に関する先行研究を、分数ソボレフ空間または乗数空間に属する係数を持つ高次作用素へ一般化する。

ABSTRACT

We study an inverse problem for the fractional Schr\"odinger equation (FSE) with a local perturbation by a linear partial differential operator (PDO) of order smaller than the order of the fractional Laplacian. We show that one can uniquely recover the coefficients of the PDO from the Dirichlet-to-Neumann (DN) map associated to the perturbed FSE. This is proved for two classes of coefficients: coefficients which belong to certain spaces of Sobolev multipliers and coefficients which belong to fractional Sobolev spaces with bounded derivatives. Our study generalizes recent results for the zeroth and first order perturbations to higher order perturbations.

研究の動機と目的

• 高次局所摂動における分数ケーラー問題の係数の一意性問題を解き、零次および一次作用素に関する先行結果を拡張する。
• 有界な滑らかな境界をもつ領域における、次数 m < 2s の線形PDOの係数が外部ディリクレ・トゥ・ノイマン（DN）写像によって一意に特定されることを確立する。
• 分数ソボレフ空間およびソボレフ乗数空間を含むより広い関数空間に係数を許容することで、先行結果を一般化する。
• 関数解析および偏微分方程式の技法を用いて、非局所作用素に局所摂動を加えた逆問題の厳密な枠組みを提供する。
• 先行研究（[12]の質問7.5）における予想を確認する。これは、滑らかな境界をもつ有界領域における滑らかな係数に対する高次分数ケーラー問題における一意性に関するものである。

提案手法

• 有界領域 Ω における摂動付き分数シュレーディンガー方程式 ((−∆)^s u + P(x,D)u = 0) の逆問題を定式化し、外部データを用いる。
• 外部DN写像 Λ_P を、外部ディリクレデータを非局所ノイマンデータへ写像する非局所ノイマントレース作用素として定義する。
• PDO P(x,D) の許容可能な係数空間を特徴付けるために、ソボレフ乗数空間 M_0(H^{s-|α|} → H^{-s}) の理論を用いる。
• Kato-Ponceの不等式と補間推定を適用し、PDEに関連する双線形形式における低次の項を制御する。
• 高次Poincaré型不等式と摂動論的議論を用いて、双線形形式の強制性を確立する。
• ランゲ近似性質とアレサンドリーニ型恒等式を用い、DN写像の差と係数の差を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部ディリクレ・トゥ・ノイマン写像は、分数シュレーディンガー方程式における高次線形PDOの係数を一意に特定できるか？
• RQ2 高次分数ケーラー問題における一意性を保証するための係数の関数空間的条件は何か？
• RQ3 零次および一次摂動から得られた結果が、m < 2s である一般のm次PDOへ拡張可能か？
• RQ4 係数が分数ソボレフ空間（有界な微分をもつもの）または乗数空間に属する場合、係数の回復が可能か？
• RQ5 局所摂動を伴う高次分数PDEに対して、ランゲ近似性質は成立するか？

主な発見

• 係数が M_0(H^{s-|α|} → H^{-s}) の有界ソボレフ乗数空間に属する限り、外部DN写像は次数 m < 2s の線形PDOの係数を一意に特定する。
• 係数が H^{r_α,∞}(Ω) に属する場合、r_α は (1.4) で定義されるが、|α| − s が半整数であっても、PDOにおける係数 a_{j,α} がDN写像によって一意に特定される。
• 本結果は [12, 定理1.5] を高次作用素へ一般化し、[44, 定理1.1] を m > 0 へ拡張し、高次摂動の状況をカバーする。
• 証明は、Kato-Ponceの不等式と補間を用いた双線形形式の新たな強制性推定に依拠しており、解の存在および一意性を保証する。
• ランゲ近似性質は、元の式および随伴方程式の両方で成立し、アレサンドリーニ恒等式を用いてDN写像の差と係数の差を結びつけることが可能になる。
• 0 が ((−∆)^s + P(x,D)) のディリクレ固有値でないという条件のもとで、一意性結果は成り立つ。これは前向き問題の適切な定義を保証する。