[論文レビュー] The Higson-Roe sequence for \\'{e}tale groupoids. I. Dual algebras and compatibility with the BC map

Moulay-Tahar Benameur, Indrava Roy|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2018

Advanced Topics in Algebra被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、固有なエタール群コホン作用のための二重ローアルゲブラを導入し、Higson-Roe解析的手術完全系列を確立する。この系列に関連するK理論6項系列における境界写像を、パスクレ・ヒグソン双対性構成によりバーム＝コンヌ写像と特定する。さらに、有界幾何の多様体の連続的G族に対する粗いGインデックスを定義し、パトリソンおよびコンネスのインデックス類を一般化する。

ABSTRACT

We introduce the dual Roe algebras for proper \\'{e}tale groupoid actions and deduce the expected Higson-Roe short exact sequence. When the action is cocompact, we show that the Roe $C^*$-ideal of locally compact operators is Morita equivalent to the reduced $C^*$-algebra of our groupoid, and we further identify the boundary map of the associated periodic six-term exact sequence with the Baum-Connes map, via a Paschke-Higson map for groupoids. For proper actions on continuous families of manifolds of bounded geometry, we associate with any $G$-equivariant Dirac-type family, a coarse index class which generalizes the Paterson index class and also the Moore-Schochet Connes' index class for laminations.

研究の動機と目的

• ハウスドルフなエタール群コホンの固有作用へのHigson-Roe解析的手術完全系列の拡張。
• 固有なエタール群コホン作用のための二重ローアルゲブラの定義と関連する短完全系列の確立。
• パシュケ＝ヒグソン双対性を用いて、周期的K理論完全系列における境界写像をバーム＝コンヌアセンブリーマップと特定する。
• 連続的G族である有界幾何の多様体に対するパトリソンのインデックス類およびムーア＝ショケット＝コンネスのインデックス類を、粗いGインデックス構成により一般化する。
• 作用が共コンパクトである場合、局所コンパクト作用素のローアルゲブラC*-イデアルと群コホンの簡約C*-代数の間のモラータ同値性を確立する。

提案手法

• 連続的ヒルベルトモジュールのファミリーと正規作用素を用いて、固有なエタール群コホン作用のための二重ローアルゲブラを構成する。
• パシュケ＝ヒグソン双対性を適用し、K理論完全系列における境界写像とバーム＝コンヌ写像との関係を特定する。
• 正規作用素のためのスペクトル定理を用いて、連続的ヒルベルトモジュールに誘導される有界自己随伴作用素のファミリーに伴う関数計算を定義する。
• 連続的G族である有界幾何の多様体上のG-不変なディラック型ファミリーに対して、粗いGインデックスクラスを定義する。
• 作用が共コンパクトである場合、ローアルゲブラC*-イデアルと群コホンの簡約C*-代数の間のモラータ同値性を確立する。
• 群コホン作用へのHigson-Roeプログラムを適用し、古典的手術完全系列を滑らかでない、コンパクトでない設定に一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Higson-Roe解析的手術完全系列をエタール群コホンの固有作用にどのように一般化できるか。
• RQ2 二重ローアルゲブラは、エタール群コホンのためのHigson-Roe系列を構成する上で果たす役割は何か。
• RQ3 群コホン設定下で、K理論6項完全系列における境界写像は、バーム＝コンヌアセンブリーマップとどのように関係するか。
• RQ4 ラミネーションのための粗いインデックスクラスとパトリソンのインデックスは、連続的G族である有界幾何の多様体に対する一般化されたインデックスによって統一可能か。
• RQ5 ローアルゲブラC*-イデアルと群コホンの簡約C*-代数の間のモラータ同値性が成り立つ条件は何か。

主な発見

• 二重ローアルゲブラの構成により、固有なエタール群コホン作用に対してHigson-Roe短完全系列が得られる。
• 作用が共コンパクトである場合、局所コンパクト作用素のローアルゲブラC*-イデアルは、群コホンの簡約C*-代数とモラータ同値である。
• 周期的K理論6項完全系列における境界写像は、パスクレ＝ヒグソン双対性構成によりバーム＝コンヌ写像と特定される。
• 任意のG不変ディラック型ファミリーに対して、連続的G族である有界幾何の多様体上で粗いGインデックスクラスが定義され、パトリソンおよびコンネスのインデックスクラスを一般化する。
• ヒルベルトモジュール上の正規作用素の関数計算は、有界作用素の連続的ファミリーと整合的であり、インデックス構成の整合性を保証する。
• この構成により、滑らかでなく、コンパクトでもない設定における手術完全系列の一般化が得られ、Higson-Roeプログラムがエタール群コホン設定に拡張される。