[論文レビュー] The Hilbert spaces for stable and unstable particles

Heinrich Saller|ArXiv.org|Jan 11, 2005

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 13被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、時間、空間、時空の並進に対して正定値関数を用いることで、平方可積分関数の代わりに不安定粒子のための厳密なヒルベルト空間枠組みを確立する。不安定状態は非直交的でありながら、アフィン群の下で可約だが不可約であることが示され、スカラー積はスペクトル密度を介して定義され、量子場理論における共鳴状態と崩壊状態のユニタリな基礎が得られる。

ABSTRACT

The Hilbert spaces for stable scattering states and particles are determined by the representations of the characterizing Euclidean and Poincaré group and given, respectively, by the square integrable functions on the momentum 2-spheres for a fixed absolute value of momentum and on the energy-momentum 3-hyperboloids for a particle mass. The Hilbert spaces for the corresponding unstable states and particles are not characterized by square integrable functions Their scalar products are defined by positive type functions for the cyclic representations of the time, space and spacetime translations involved. Those cyclic, but reducible translation representations are irreducible as representations of the corresponding affine operation groups which involve also the time, space and spacetime reflection group, characteristic for unstable structures.

研究の動機と目的

• 安定粒子から不安定共鳴状態へ標準ヒルベルト空間形式を拡張すること。
• 不安定粒子が平方可積分関数では記述できないという基礎的問題を解決すること。
• 時間・空間・時空並進群の循環的表現を用いて、不安定状態のヒルベルト空間を特徴付けること。
• 不安定エネルギー状態、散乱状態、相対論的粒子を一つのユニタリ枠組みで統一すること。
• 非直交的遷移確率および不安定系における確率的集合の数学的基盤を提供すること。

提案手法

• 時間・空間・時空並進群の循環的で可約な表現を、不安定状態ヒルベルト空間の基礎として用いる。
• 標準的なL²内積の代わりに、並進群上の正定値関数を用いてスカラー積を定義する。
• 誘導表現理論および一般化関数を用いて、複素質量極を有する不安定状態のヒルベルト空間を構成する。
• 行列値スペクトル密度を用いて、不安定状態の非直交的重ね合わせとして「確率的集合」を導入する。
• エネルギーまたは運動量でラベル付けされた連続的族の「固有状態」に対する積分としてヒルベルトベクトルを構成する。各状態は集合内関数で重み付けされる。
• 行列要素の時間発展を用いて、スペクトル分布Γ/((E−μ)²+Γ²)から指数的崩壊e^{-Γ|t|}を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な平方可積分関数が失敗する状況において、不安定粒子のヒルベルト空間をどのように構築できるか？
• RQ2 非直交性および崩壊特性を考慮すると、不安定状態の正しいスカラー積構造は何か？
• RQ3 時間・空間・時空並進が不安定状態ヒルベルト空間にユニタリに作用する方法は？
• RQ4 非直交基底と正定値関数を用いて、不安定粒子の確率的集合を一貫して定義できるか？
• RQ5 アフィン群（反射を含む）は、不安定状態表現の不可約性において果たす役割は何か？

主な発見

• 不安定粒子は、平方可積分関数ではなく、並進群上の正定値関数を用いて定義されるスカラー積を持つヒルベルト空間で記述される。
• 不安定エネルギー状態の時間発展により、指数的崩壊|⟨ψ|U(t)ψ⟩|² ∝ e^{-2Γ|t|}が得られ、これはスペクトル密度Γ/((E−μ)²+Γ²)から導出される。
• カイソン系において、t=0における集合スカラー積行列は(1+|ε|²)⁻¹ × diag(e^{-Γ_S|t|}, e^{-Γ_L|t|})に比例し、εを含む干渉項が存在する。
• 不安定粒子のヒルベルト空間ベクトルは∑∫ f_j(p) |m_j², γ_j; p⟩として構成され、質量と幅でラベル付けされた連続的基底状態を用いる。
• 不安定状態のスカラー積分布は⟨m²_l,γ_l;p₂|m²_k,γ_k;p₁⟩ = ξ* ∘ (1/π) diag(2γ_j/m_j / ((p²−m_j²+γ_j²)²+4m_j²γ_j²)) ∘ ξ × 2πδ(p₁−p₂)で与えられる。
• 不安定状態におけるポincare群の表現は、並進の下では可約だが、時空反射を含む全アフィン群の下では不可約である。