[論文レビュー] The Hilbert spectrum and the Energy Preserving Empirical Mode Decomposition

Pushpendra Singh, Shiv Dutt Joshi+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 16, 2015

Machine Fault Diagnosis Techniques参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、信号の固有モード関数（IMF）への分解において、信号の全エネルギーが保存されるエネルギー保存型経験的モード分解（EPEMD）アルゴリズムを2つ提案する。最初のアルゴリズムは、線形独立で直交しないがエネルギー保存型のIMF（LINOEP）を生成する。2番目のアルゴリズムは、逆順のグラム・シュミット直交化を用いて直交的かつ無相関なIMFを生成し、エネルギー漏れを顕著に低減し、ヒルベルトスペクトルにおける時間周波数分解能を向上させる。

ABSTRACT

In this paper, we propose algorithms which preserve energy in empirical mode decomposition (EMD), generating finite $n$ number of band limited Intrinsic Mode Functions (IMFs). In the first energy preserving EMD (EPEMD) algorithm, a signal is decomposed into linearly independent (LI), non orthogonal yet energy preserving (LINOEP) IMFs and residue (EPIMFs). It is shown that a vector in an inner product space can be represented as a sum of LI and non orthogonal vectors in such a way that Parseval's type property is satisfied. From the set of $n$ IMFs, through Gram-Schmidt orthogonalization method (GSOM), $n!$ set of orthogonal functions can be obtained. In the second algorithm, we show that if the orthogonalization process proceeds from lowest frequency IMF to highest frequency IMF, then the GSOM yields functions which preserve the properties of IMFs and the energy of a signal. With the Hilbert transform, these IMFs yield instantaneous frequencies and amplitudes as functions of time that reveal the imbedded structures of a signal. The instantaneous frequencies and square of amplitudes as functions of time produce a time-frequency-energy distribution, referred as the Hilbert spectrum, of a signal. Simulations have been carried out for the analysis of various time series and real life signals to show comparison among IMFs produced by EMD, EPEMD, ensemble EMD and multivariate EMD algorithms. Simulation results demonstrate the power of this proposed method.

研究の動機と目的

• 従来のEEMDにおいて、IMFエネルギーの和が元の信号エネルギーに一致しないエネルギー漏れの問題を解決すること。
• 数学的に厳密な枠組みを構築し、エネルギー保存型で線形独立で直交しないIMF（LINOEP）を生成すること。
• 周波数の逆順にグラム・シュミット直交化を適用することでエネルギー漏れを排除し、IMFの特性と信号エネルギーを保存すること。
• 合成信号および実信号を用いたEEMD、MEMD、および従来のEEMDとの比較を通じて、提案されたEPEMD手法の妥当性を統計的有意性検定により検証すること。

提案手法

• 非直交かつ線形独立な分解においても、パーソバル型エネルギー保存性を満たすように、LINOEP IMFと残差を生成する最初のEPEMDアルゴリズムを提案。
• LINOEP IMFの集合に対してグラム・シュミット直交化（GSOM）を適用し、n! 種類の直交関数セットを生成可能とする。
• IMFの周波数が低周波から高周波へと順に処理される逆順のGSOMプロセスを導入し、直交化の過程でIMF特性とエネルギーを保存すること。
• 得られた直交IMFにヒルベルト変換を適用し、瞬時周波数と振幅を計算し、時間周波数エネルギー分布としてヒルベルトスペクトルを構築する。
• スプレッド関数プロットを用いた統計的有意性検定により、IMF成分が真の信号を反映しているかを評価し、95%信頼区間の下限と上限として第5百分位数と第95百分位数を用いる。
• EEMD、MEMD、および提案されたEPEMD手法の間で、エネルギー漏れ（Pee）、直交性インデックス、ヒルベルトスペクトル分解能を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 信号を、固有モード関数の性質を保ちつつ、線形独立で直交しないがエネルギー保存型のIMFに分解することは可能か？
• RQ2 周波数の逆順にグラム・シュミット直交化を適用することで、IMFの特性と全信号エネルギーの両方が保存されるか？
• RQ3 提案されたEPEMD手法は、従来のEEMD、EEMD、MEMDと比較して、エネルギー漏れをどの程度低減するか？
• RQ4 EPEMDによって生成されたIMFは統計的に有意であるか、それともノイズ由来の誤検出成分に過ぎないか？
• RQ5 EPEMDから導出されるヒルベルトスペクトルは、既存のEEMD変種と比較して、時間周波数エネルギー分解能がどの程度明確に向上するか？

主な発見

• 最初のEPEMDアルゴリズムは、適切に定式化された数学的枠組みのもとで、LINOEP IMFと残差を成功裏に生成し、パーソバル型性質を満たすエネルギー保存性を実現した。
• 2番目のEPEMDアルゴリズムは、逆順のGSOMを用いて直交的かつ無相関なIMF（ROIMFsおよびROUIMFs）を生成し、IMFの特性と全信号エネルギーの両方を保存した。
• エネルギー漏れ（Pee）はEPEMDで3.181×10⁻¹³にまで低減された。これはEEMDの-1.014×10⁷およびEEMDの113.54と比較して、ほぼ完全なエネルギー保存を示している。
• 統計的有意性検定の結果、EPIMFs、ROIMFs、ROUIMFsは白色ガウスノイズの第5および第95百分位数の範囲内に保たれ、EEMDやEEMDの多くのIMFsやFOIMFsとは異なり、真の信号成分を反映していることが確認された。
• 線形 chirp シグナルの時間周波数解析において、EPEMDはエネルギー漏れが無視できるほど小さいため、最小限のアーティファクトで優れた追従性を示した。
• 全体的および部分的直交性インデックスの結果、ROIMFsおよびROUIMFsは従来のEEMDおよびEEMDと比較して、顕著な直交性の向上が確認された。