[論文レビュー] The History and Present Status of Quantum Field Theory in Curved Spacetime

Robert M. Wald|ArXiv.org|Aug 3, 2006

Quantum Electrodynamics and Casimir Effect参考文献 1被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、時空の曲がりにおける量子場の理論の歴史的発展と現在の数学的定式化をレビューし、ポincare対称性の欠如や優先された真空状態の欠如に起因する問題を克服するための代数的アプローチに焦点を当てる。微局所解析を用いて、局所的で共変的かつ再正則化可能な摂動的枠組みを構築し、ウィック多項式および時間順序積に対する一意的で物理的に妥当な定義が、局所的曲率の不確かさを除いて存在することを証明する。

ABSTRACT

Quantum field theory in curved spacetime is a theory wherein matter is treated fully in accord with the principles of quantum field theory, but gravity is treated classically in accord with general relativity. It is not expected to be an exact theory of nature, but it should provide a good approximate description when the quantum effects of gravity itself do not play a dominant role. A major impetus to the theory was provided by Hawking's calculation of particle creation by black holes, showing that black holes radiate as perfect black bodies. During the past 30 years, considerable progress has been made in giving a mathematically rigorous formulation of quantum field theory in curved spacetime. Major issues of principle with regard to the formulation of the theory arise from the lack of Poincare symmetry and the absence of a preferred vacuum state or preferred notion of ``particles''. By the mid-1980's, it was understood how all of these difficulties could be overcome for free (i.e., non-self-interacting) quantum fields by formulating the theory via the algebraic approach and focusing attention on the local field observables rather than a notion of ``particles''. However, these ideas, by themselves, were not adequate for the formulation of interacting quantum field theory, even at a perturbative level, since standard renormalization prescriptions in Minkowski spacetime rely heavily on Poincare invariance and the existence of a Poincare invariant vacuum state. However, during the past decade, great progress has been made, mainly due to the importation into the theory of the methods of ``microlocal analysis''. This article will describe the historical development of the subject and describe some of the recent progress.

研究の動機と目的

• 時空の曲がりにおける量子場理論を定式化する上での概念的・数学的課題を明確にすること、特にポincare対称性の欠如および優先された真空状態の欠如に起因するもの。
• 自由量子場理論における基礎的問題を、粒子状態ではなく局所的観測量に注目する代数的アプローチを採用することで克服すること。
• 微局所解析を用いて、時空の曲がりにおける相互作用を伴う量子場理論への定式化を拡張し、ウィック多項式および時間順序積の局所的で共変的かつ再正則化可能な定義の存在を証明すること。
• 真空状態や粒子状態の定義に依存しないが、保存則および再正則化条件を満たす、時空の曲がりにおける相互作用を伴う量子場理論の摂動的枠組みを確立すること。

提案手法

• テスト関数によるスムージングを用いて、場の観測量を演算子値分布として定式化することで、時空の曲がりにおける量子場理論を代数的アプローチで定式化する。
• 微局所解析を用いて分布の波フロント集合を定義・特徴付け、時空の曲がりにおける特異性と再正則化の厳密な取り扱いを可能にする。
• 微局所スペクトル条件およびスケーリング性を満たす局所的で共変的な規定を用いて、ウィック多項式および時間順序積を定義する。
• 各摂動的順序で保存則および古典的運動方程式との整合性を保証するために、再正則化条件を課す。
• 観測量代数 $\mathcal{W}$ を、真空状態の選択に依存しない抽象的代数として構成し、共変性および物理的整合性を保証する。
• ウィック多項式および時間順序積の規定が、$\phi^2$ の場合における $c_1 R + c_2 m^2$ 項のような局所的曲率の不確かさを除いて一意的であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時空の曲がりにおける量子場理論を、粒子状態や優先された真空に依存せずに一貫して定式化する方法は何か？
• RQ2 時空の曲がりにおけるウィック多項式および時間順序積の局所的で共変的な定義を可能にする数学的枠組みは何か？
• RQ3 微局所解析を用いて、ミンコフスキー時空における標準的な再正則化手順を、曲がった時空へ一般化できる範囲はどの程度か？
• RQ4 保存則および共変性を保ちつつ、時空の曲がりにおける相互作用を伴う量子場理論を摂動的レベルで一貫して定式化できるか？
• RQ5 局所的曲率の不確かさが、時空の曲がりにおける量子場の観測量の物理的解釈に及ぼす影響は何か？

主な発見

• すべてのウィック多項式に対して、局所的で共変的な規定が存在し、$\phi^2 \to \phi^2 + (c_1 R + c_2 m^2)I$ のような局所的曲率の不確かさを除いて一意的である。
• 時間順序積に対しても、局所的で共変的な規定が存在し、再正則化の不確かさ、特に追加の局所的曲率項を含むものも含めて一意的である。
• この枠組みにより、相互作用を伴う量子場が古典的運動方程式を満たし、各摂動的順序でストレッシングエネルギー張子が保存されることを保証する。
• ミンコフスキー時空で再正則化可能な理論は、曲がった時空でも再正則化可能であり、計量 $g_{ab} \to \lambda^2 g_{ab}$ のスケーリングを用いて再正則化群のフローが定義される。
• 観測量代数 $\mathcal{W}$ の構成は、真空状態の選択に依存せず、物理的頑健性および共変性を確認する。
• 理論は、一般相対性理論と同等の数学的整合性を達成しており、重力の半古典的取り扱いであるものの、時空の曲がりにおける量子場理論が実現可能で深い枠組みであることが示されている。