[論文レビュー] The $ ho$ parameter at three loops and elliptic integrals

J. Blümlein, A. Freitas+4 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Particle physics theoretical and experimental studies参考文献 37被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、標準模型におけるρパラメータの2質量3ループ補正に必要な6つのマスターフェルミオン積分の解析的計算を提示する。微分方程式が1次因数分解可能でない場合に焦点を当て、超幾何関数および楕円関数を用いて、反復的でない成分を含む新しい種類の反復積分を導出し、δ(2)の完全な解析的結果を完全楕円積分およびモジュラー形式の形で得る。

ABSTRACT

We describe the analytic calculation of the master integrals required to compute the two-mass three-loop corrections to the $ ho$ parameter. In particular, we present the calculation of the master integrals for which the corresponding differential equations do not factorize to first order. The homogeneous solutions to these differential equations are obtained in terms of hypergeometric functions at rational argument. These hypergeometric functions can further be mapped to complete elliptic integrals, and the inhomogeneous solutions are expressed in terms of a new class of integrals of combined iterative non-iterative nature.

研究の動機と目的

• 標準模型におけるρパラメータの2質量3ループ補正を、完全な解析的表現で計算すること。
• 微分方程式が1次因数分解できないマスターフェルミオン積分を解くこと。これは、多ループ計算におけるより高い複雑性のクラスに属する。
• 解を超幾何関数および楕円関数の形で表現し、反復的でない新しい種類の反復積分を含めること。
• デデキンドのη関数およびヤコビのϑ関数を用いて解をモジュラー形式に写像することで、解析的構造を改善し、特異点の取り扱いを均一化すること。
• MSスキームにおけるδ(2)の完全な解析的表現を、x ∈ (0,1)の全範囲にわたり得ること。

提案手法

• マスターフェルミオン積分f8a, f9a, f8b, f9bの2階微分方程式系を、完全楕円積分を用いた同次解で解く。
• パラメータの変動法を用いて非同次解を構築し、楕円関数から導かれる反復的でない成分を含む新しい種類の反復積分を導入する。
• 名前変数qとデデキンドのη関数を用いて同次解をモジュラー形式に写像し、特異点の均一な取り扱いを可能にする。
• 非同次項を有理関数およびモジュラー形式で表現し、すべての代数的成分について明示的なη比表現を導出する。
• x=0およびx=1における既知の展開から得られる境界条件と積分定数を用いて、解の定数を固定する。
• x=0およびx=1の近傍での解析的結果の展開を行い、既存の級数展開と一致することを確認することで、一貫性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多ループ量子場の理論において、非因数分解可能な2階微分方程式を持つマスターフェルミオン積分は、どのように解析的に解けるか？
• RQ2 同次部分が完全楕円積分を含む場合、非同次解の構造はどのようなものか？
• RQ3 すべての特異点を均一に取り扱うために、解をモジュラー形式で表現できるか？
• RQ4 非同次項に反復的でない成分が含まれる場合、どのような新しい種類の反復積分が出現するか？
• RQ5 x=0およびx=1における既知の級数展開と比較すると、結果はどのように異なるか？また、x ∈ (0,1)の全範囲における数値的挙動はいかなるものか？

主な発見

• f8aおよびf8bの同次解は、完全楕円積分K(k²)およびE(k²)で表され、η関数を介してモジュラー形式に写像されている。
• 非同次解は、反復的および反復的でない構造を組み合わせた新しい種類の積分を用いて構築されており、楕円積分から導かれる新しい「文字」を含む。
• δ(2)(x)の完全な解析的解が得られ、δ(2)(0) = −3.9696であり、質量比が小さい極限での既知の結果と一致する。
• 解はx=0およびx=1の近傍で展開され、参考文献[51]の級数結果と完全に一致している。
• モジュラー形式の使用により、楕円積分の引数における有理関数とは異なり、すべての特異点が均一に取り扱われる。
• δ(2)(x)の最終的結果は、色因子およびマスターフェルミオン積分の形で表され、非平面的成分は係数構造に符号化されている。