[論文レビュー] The Hodge group and endomorphism algebra of an Abelian variety

Mikhail Borovoi|arXiv (Cornell University)|Oct 19, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、複素数体上の極小化されたアーベル多様体の自己準同型代数とホッジ群の間の明確な関係を確立する。表現論と群のガロア作用を用いて、自己準同型代数がℚであるとき、ホッジ群はℚ単純であることを証明する。主な貢献は、ロザティ対応による固定部分代数の固定部分代数の次元に基づいて、ホッジ群のℚ単純因子の数に対する上限を導出することにある。

ABSTRACT

This is an English translation of the author's 1981 note in Russian, published in a Yaroslavl collection. We prove that if an Abelian variety over C has no nontrivial endomorphisms, then its Hodge group is Q-simple.

研究の動機と目的

• 複素数体上のアーベル多様体のホッジ群の構造を、その自己準同型代数と関連づけて特定すること。
• ホッジ群の交換子部分群におけるℚ単純因子の数に対する上限を確立すること。
• 自己準同型代数がℚであるとき、ホッジ群がℚ単純であることを証明すること。
• ロザティ対応と自己準同型代数の中心が、ホッジ群の分解を制約する役割を明確にすること。

提案手法

• ホッジ群を、その実数点が複素構造準同型φの像を含む最小のℚ定義代数的部分群としてGL(V)の部分群として定義する。
• 再帰的群とヘルミート対称空間の性質を適用して、ホッジ群の実構造と複素構造を分析する。
• 実半単純群G′ℝの単純因子上のガロア群作用を用いて、ℚ単純部分群を数える。
• G′ℝの各既約実表現が、ℝ上の自己準同型代数の分解における単純因子に対応することを用いる。
• ロザティ対応による固定部分代数F₀の次元と、ℝ上での自己準同型代数の分解に基づく既約実表現の数との関係を関係づける。
• Satakeの定理（非コンパクト群の分解における）を適用して、ガロア軌道の数を制限し、結果としてℚ単純因子の数を制限する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アーベル多様体のホッジ群がℚ単純であるのはどのような条件下か？
• RQ2 特に中心とロザティ対応を含む自己準同型代数の構造が、ホッジ群の分解をどのように制約するか？
• RQ3 ホッジ群の交換子部分群におけるℚ単純因子の数と、ロザティ対応による固定部分代数の次元との関係は何か？
• RQ4 ホッジ群の実形式と複素形式におけるガロア作用が、群のℚ有理構造にどのように影響するか？
• RQ5 非退化な歪対称形式とヘルミート対称空間は、ホッジ群の表現論的解析において果たす役割は何か？

主な発見

• 自己準同型代数End⁰Aがℚであるならば、ホッジ群Hg Aはℚ単純代数的群である。
• ホッジ群の交換子部分群G′に含まれるℚ単純正規部分群の数rは、r ≤ dimℚ F₀を満たす。ここでF₀はロザティ対応による固定部分代数である。
• G′ℝの既約実表現の数はdimℚ F₀に等しく、表現論と自己準同型代数の間の直接的な関係を確立する。
• ホッジ群の表現の複素化における各既約成分は、非退化な歪対称形式を尊重しており、各因子にシンプレクティック構造が存在することを示唆する。
• End⁰A = ℚのとき、ガロア群はG′ℂの単純因子上で推移的に作用し、このような因子の数Nは奇数である。
• ホッジ群は再帰的であり、その実数点は複素構造準同型φの像を中央化する最大コンパクト部分群を含む。