[論文レビュー] The Hodge theoretic fundamental group and its cohomology

Donu Arapura|ArXiv.org|Feb 24, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、複素代数的多様体 $X$ 上の適切な混合Hodge構造の変動の基本的局所系統のカテゴリのタンナカ双対として定義される、ホッジ的理論的基本群 $\pi_{1}^{\text{hodge}}(X,x)$ を導入する。この群には普遍ムーディ・タート群の作用を介して非アーベル的混合Hodge構造が与えられ、すべての such $V$ に対して canonical map $H^*(\pi_{1}^{\text{hodge}}, V) \to H^*(X, V)$ が同型であるとき、$X$ はホッジ的理論的 $K(\pi,1)$ であると示している。この性質は、アーベル・多様体および滑らかなアフィン曲線に対して成り立つ。

ABSTRACT

In this paper, we explore a notion of nonabelian Hodge structure on the fundamental group of an algebraic variety. This is approach is compared to some alternative approaches due to Morgan, Hain and others. We also give criteria for a variety to be a Hodge theoretic K(pi,1), which roughly means that the cohomology of variations of mixed Hodge structure can be determined from the group.

研究の動機と目的

• 基本群のマルチェフ完成のより大きな、ホッジ的理論的類似物を定義し、群論的情報をより多く保持するものとする。
• 普遍ムーディ・タート群の作用を介して、この群に非アーベル的混合Hodge構造を構成する。
• コホモロジー的比較写像 $H^*(\pi_{1}^{\text{hodge}}, V) \to H^*(X, V)$ を構成し、それが同型となる条件を特定する。
• $K(\pi,1)$ 空間の概念をホッジ的理論的設定に一般化し、可換代数的群や滑らかなアフィン曲線などの新しい例を同定する。

提案手法

• 複素代数的多様体 $X$ 上の適切な混合Hodge構造の変動の基本的局所系統のカテゴリのタンナカ双対として $\pi_{1}^{\text{hodge}}(X,x)$ を定義する。
• このような変動のモノドロミー表現のザリスキ閉包の逆極限としてこの群を実現する。
• 普遍ムーディ・タート群 $MT$ の作用を介して $\pi_{1}^{\text{hodge}}(X,x)$ に非アーベル的混合Hodge構造を付与する。
• 任意の適切な変動 $V$ に対して、canonical morphism $H^*(\pi_{1}^{\text{hodge}}, V) \to H^*(X, V)$ を構成する。
• タンナカ的形式主義とコホモロジー的誘導を用いて比較写像を分析し、ハインらの相対マルチェフ完成に関する結果に依拠する。
• 比較写像がアーベル・多様体および滑らかなアフィン曲線に対して、予想的または条件なしに同型であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 マルチェフ完成よりも大きな商の基本群にホッジ構造を定義することは可能か？ その際、幾何的・算術的情報を保持できるか？
• RQ2 基本群上の非アーベル的混合Hodge構造の正しい一般化は何か？ そして、算術幾何におけるガロア作用とどのように関係するか？
• RQ3 すべての適切な変動 $V$ に対して、canonical map $H^*(\pi_{1}^{\text{hodge}}, V) \to H^*(X, V)$ が同型となるのはいつか？
• RQ4 どの複素代数的多様体がホッジ的理論的 $K(\pi,1)$ 空間であるか？ そして、そのような空間の構造的性質は何か？

主な発見

• ホッジ的理論的基本群 $\pi_{1}^{\text{hodge}}(X,x)$ は、$X$ 上の適切な混合Hodge構造の変動の基本的局所系統のカテゴリのタンナカ双対として定義され、普遍ムーディ・タート群の作用を介して非アーベル的混合Hodge構造を有する。
• 群 $\pi_{1}^{\text{hodge}}(X,x)$ はマルチェフ完成を支配し、それらのホッジ構造と整合する。
• 可換代数的群に対しては、比較写像 $H^*(\pi_{1}^{\text{hodge}}, V) \to H^*(X, V)$ が同型であるため、このような空間はホッジ的理論的 $K(\pi,1)$ である。
• 滑らかなアフィン曲線に対しては、定理5.5の予想を仮定すれば比較写像が同型であり、この条件下でホッジ的理論的 $K(\pi,1)$ である。
• この結果はアーベル・多様体に対しても、予想的または条件なしに同型であることが示された。
• 本稿では、アーティン近傍もホッジ的理論的 $K(\pi,1)$ である可能性が示唆されており、広範な例のクラスが得られる。