[論文レビュー] The Holevo capacity of infinite dimensional channels

M. E. Shirokov|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、無限次元の制約付き量子チャネルにおけるホールボ容量を導入し、最適な集合が存在しないにもかかわらず、出力最適平均状態の存在を証明する。容量のミニマックス表現を確立し、加法性の性質の同等性を示し、χ関数が強く凹型であり、下側半連続であることを示す。有限次元では連続性が成り立つが、一般には下側半連続性にとどまることを示す連続性の結果も得る。

ABSTRACT

The notion of the Holevo capacity for arbitrarily constrained infinite dimensional quantum channels is introduced. It is shown that despite nonexistence of an optimal ensemble in this case it is possible to define the notion of the output optimal average state for such a channel. The characterization of the output optimal average state and a minimax expression for the Holevo capacity are obtained. This makes it possible to prove equivalence of several additivity properties for infinite dimensional quantum channels. The notion of the $\chi$-function for an infinite dimensional channel is considered, its strong concavity and lower semicontinuity are shown. The problem of continuity of the Holevo capacity is also discussed. It is shown that the Holevo capacity is continuous function of a channel in the finite dimensional case while in general it is only lower semicontinuous. This conclusion is confirmed by the example. The main result of this note is the statement that additivity of the Holevo capacity for all finite dimensional channels implies additivity of the Holevo capacity for all infinite dimensional channels with arbitrary constraints. The subadditivity of the $\chi$-function for two infinite dimensional channels with one of them noiseless or entanglement breaking is also proved.

研究の動機と目的

• 任意の制約下での無限次元量子チャネルにおけるホールボ容量の定義と特徴付けを行う。
• 無限次元設定における最適な集合の不在を補うために、出力最適平均状態を導入する。
• 無限次元チャネルにおけるさまざまな加法性の性質の間の同等性を確立する。
• ホールボ容量の連続性の性質と、無限次元空間におけるχ関数の振る舞いを調査する。

提案手法

• 最適な集合が存在しない問題を回避するため、ホールボ容量のミニマックス表現を導入する。
• 無限次元チャネルにおける容量の特徴付けのための主要対象として、出力最適平均状態を定義する。
• 無限次元チャネルにおけるχ関数の強凸性と下側半連続性を証明する。
• ホールボ容量の連続性を分析し、有限次元では連続であるが、一般には下側半連続であることを示す。
• 双対性および変分的手法を用いて、容量のミニマックス表現を導出する。
• 片方のチャネルがノイズレスまたはエンタングルメントブレイキングである場合、χ関数の劣加法性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適な集合が存在しない状況において、無限次元量子チャネルにおけるホールボ容量を意味的に定義できるか？
• RQ2 このようなチャネルの容量を特徴付けるにあたり、出力最適平均状態は果たすどのような役割を果たすか？
• RQ3 無限次元チャネルにおけるさまざまな加法性の性質は、どのように相互に関係しているか？
• RQ4 無限次元設定においてホールボ容量は連続的か？有限次元の場合と比較するとどうなるか？
• RQ5 無限次元量子チャネルにおけるχ関数の構造的性質は何か？

主な発見

• 最適な集合が存在しないにもかかわらず、無限次元チャネルにおけるホールボ容量はミニマックス表現を有する。
• 出力最適平均状態は存在し、チャネルの容量を特徴付けることができ、制約付き設定におけるチャネル容量の定義を可能にする。
• 本稿の枠組みのもとで、無限次元チャネルにおけるすべての加法性の性質は同等である。
• 無限次元チャネルにおけるχ関数は強く凹型であり、下側半連続である。
• ホールボ容量は有限次元では連続であるが、一般には下側半連続にとどまる。反例によりこれを示した。
• 片方のチャネルがノイズレスまたはエンタングルメントブレイキングである場合、χ関数の劣加法性が成り立ち、既知の有限次元結果が拡張される。