[論文レビュー] The holomorphic Peter-Weyl theorem and the Blattner-Kostant-Sternberg pairing

Johannes Huebschmann|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2006

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンpakトなリー群 $ K $ の複素化 $ K^c $ 上の平方可積分な正則関数からなるヒルベルト空間に対して、双不変計量から導かれるケーラー構造を用いて、正則ペーター・ウェイルの定理を確立する。この空間がユニタリに不可約 $ (K \times K) $-表現へ分解されることを証明し、ブレットナー＝コスタント＝シュテルンバーグ対応写像が $ L^2(K, dx) $ へのユニタリ同型写像であることを特定し、スペクトル分解がペーター・ウェイル分解と一致することを示す。この同型写像は、$ (4\pi t)^{-\dim(K)/4} $ のスケーリングを伴う。

ABSTRACT

Abstract. Let K be a compact Lie group, endowed with a bi-invariant Riemannian metric. The complexification KC of K inherits a Kähler structure having twice the kinetic energy of the metric as its potential, and left and right translation turn the Hilbert space HL2 (KC,e −κ/tηε) of square-integrable holomorphic functions on KC relative to a suitable measure written as e−κ/tηε into a unitary (K ×K)-representation; here κ is the metric or equivalently, the Kähler potential, ε is the symplectic volume form, η is an additional term coming from the metaplectic correction, and t> 0 is a real parameter which, in the physical interpretation, amounts to Planck’s constant �. We establish the statement of the Peter-Weyl theorem for the Hilbert space HL2 (KC,e −κ/tηε) to the effect that HL2 (KC, e−κ/tηε) contains the vector space of representative functions on KC as a dense subspace. Consequences are a holomorphic Plancherel theorem and the existence of a uniquely determined unitary isomorphism between L2 (K, dx) (where dx refers to Haar measure on K) and the Hilbert space HL2 (KC,e −κ/tηε), and we prove that, furthermore, this isomorphism coincides with the Blattner-Kostant-Sternberg pairing map from L2 (K, dx) to HL2 (KC, e−κ/tηε), multiplied by (4πt) −dim(K)/4. We then show that the spectral decomposition of the energy operator on HL2 (KC, e−κ/tηε) associated with the metric on K coincides with the Peter-Weyl decomposition of this Hilbert space and hence yields the decomposition of HL2 (KC, e−κ/tηε) into irreducible isotypical (K ×K)-representations. A crucial tool is Kirillov’s character formula.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間 $ \mathcal{H}^2(K^c, e^{-\kappa/t} \eta \varepsilon) $ に対して正則ペーター・ウェイルの定理を確立し、$ K^c $ 上の代表的関数がこの空間において稠密であることを示す。
• $ K^c $ に対して正則プランチャレの定理を証明し、古典的プランチャレ理論を正則な設定へ拡張する。
• ブレットナー＝コスタント＝シュテルンバーグ対応写像が、$ L^2(K, dx) $ と $ \mathcal{H}^2(K^c, e^{-\kappa/t} \eta \varepsilon) $ の間の、正規化因子を除いて一意なユニタリ同型写像であることを同定する。
• エネルギー作用素のスペクトル分解が、不可約 $ (K \times K) $-表現へのペーター・ウェイル分解と一致することを示す。
• ユニタリ同値性とスペクトル分解を確立するための中心的道具として、キリロフの特徴方程式を用いる。

提案手法

• 双不変リーマン計量 $ \kappa $ をケーラー汎関数として用いて、コンパクトリー群 $ K $ の複素化 $ K^c $ にケーラー構造を構成する。
• 測度を $ e^{-\kappa/t} \eta \varepsilon $ として定義する。ここで $ \varepsilon $ はシンプレクティック体積形式、$ \eta $ はメタプレクティック補正を表し、$ t > 0 $ はプランク定数の役割を果たす。
• $ K^c $ 上の平方可積分な正則関数の空間 $ \mathcal{H}^2(K^c, e^{-\kappa/t} \eta \varepsilon) $ に、左および右平行移動によるユニタリ $ (K \times K) $-作用を導入する。
• キリロフの特徴方程式を用いて、不可約 $ (K \times K) $-表現の特徴と、$ \mathcal{H}^2(K^c, e^{-\kappa/t} \eta \varepsilon) $ 上のエネルギー作用素のトレースを関連付ける。
• 正則プランチャレの定理を用いて、ブレットナー＝コスタント＝シュテルンバーグ写像の下で、$ K $ 上の $ L^2 $-ノルムが $ K^c $ 上の $ \mathcal{H}^2 $-ノルムに対応することを示す。
• 各固有空間が不可約 $ (K \times K) $-表現に対応することを示すことにより、エネルギー作用素のスペクトル分解がペーター・ウェイル分解と一致することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルト空間 $ \mathcal{H}^2(K^c, e^{-\kappa/t} \eta \varepsilon) $ は、$ K^c $ 上の代表的関数の空間を稠密部分空間として含むか？
• RQ2 $ L^2(K, dx) $ と $ \mathcal{H}^2(K^c, e^{-\kappa/t} \eta \varepsilon) $ の間にユニタリ同型写像が存在するか。もし存在するならば、それはブレットナー＝コスタント＝シュテルンバーグ対応写像によって与えられるか？
• RQ3 $ \mathcal{H}^2(K^c, e^{-\kappa/t} \eta \varepsilon) $ 上のエネルギー作用素のスペクトル分解は、不可約 $ (K \times K) $-表現へのペーター・ウェイル分解と一致するか？
• RQ4 プランク定数と解釈されるパrameter $ t $ は、$ L^2(K, dx) $ と $ \mathcal{H}^2(K^c, e^{-\kappa/t} \eta \varepsilon) $ 間のユニタリ同値性にどのように影響するか？
• RQ5 キリロフの特徴方程式を用いて、$ L^2(K) $-空間と $ K^c $ 上の正則 $ \mathcal{H}^2 $-空間の間のユニタリ同値性を確立できるか？

主な発見

• $ K^c $ 上の代表的関数の空間は $ \mathcal{H}^2(K^c, e^{-\kappa/t} \eta \varepsilon) $ において稠密であり、正則ペーター・ウェイルの定理が確立される。
• $ K^c $ に対して正則プランチャレの定理が成り立ち、$ \mathcal{H}^2 $-ノルムがブレットナー＝コスタント＝シュテルンバーグ写像の下で $ K $ 上の $ L^2 $-ノルムに対応する。
• $ L^2(K, dx) $ と $ \mathcal{H}^2(K^c, e^{-\kappa/t} \eta \varepsilon) $ の間のユニタリ同型写像は、正確にブレットナー＝コスタント＝シュテルンバーグ対応写像であり、$ (4\pi t)^{-\dim(K)/4} $ のスケーリングを伴う。
• $ \mathcal{H}^2(K^c, e^{-\kappa/t} \eta \varepsilon) $ 上のエネルギー作用素のスペクトル分解は、不可約 $ (K \times K) $-表現へのペーター・ウェイル分解と一致する。
• キリロフの特徴方程式により、不可約 $ (K \times K) $-表現の特徴が、対応する固有空間上でのエネルギー作用素のトレースと一致することを検証するための鍵となる。
• $ K^c $ 上のケーラー構造は、双不変計量 $ \kappa $ から導かれるが、これによりエネルギー作用素が $ K^c $ 上のラプラシアンに対応し、そのスペクトルは離散的であり、各固有値の重複度は対応する不可約表現の次元に等しい。