[論文レビュー] The homogenization method for topology optimization of structures: old and new

Grégoire Allaire, Lorenzo Cavallina+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 27, 2019

Topology Optimization in Engineering参考文献 38被引用数 31

ひとこと要約

本稿では、現代のラティスベースの additive manufacturing を想定したトポロジー最適化における均質化法の復活を提案する。数学的均質化理論と数値最適化を統合し、異方性微細構造を設計する。三段階フレームワーク（均質化特性の事前計算、有効材料のパラメトリック最適化、方向マッピングによる周期的ラティス設計の再構築）を提案し、SIMP 法と比較して優れた機械的性能を示す最適かつ製造可能なラティス構造の設計を可能にする。

ABSTRACT

These are the lecture notes of a short course on the homogenization method for topology optimization of structures, given by Gr\\'egoire Allaire, during the "GSIS International Summer School 2018" at Tohoku University (Sendai, Japan). The goal of this course is to review the necessary mathematical tools of homogenization theory and apply them to topology optimization of mechanical structures. The ultimate application, targeted in this course, is the topology optimization of structures built with lattice materials. Practical and numerical exercises are given, based on the finite element free software FreeFem++.

研究の動機と目的

• SIMP 法が異方性材料挙動を適切に捉えられないという限界を克服するため、現代のラティスベース製造に適した均質化法を復活させること。
• 機械的性能と製造可能性の両立を図る最適周期的微細構造を設計する体系的フレームワークの開発。
• 最適方向場における特異点を正則化および改善された射影技術により克服すること。
• 剛性最小化のため、微細構造幾何形状と方向を同時にパラメトリック最適化できること。
• 実用的応用および検証を想定した、FreeFEM++ を用いた数値的に安定した有限要素法ベースの実装を提供すること。

提案手法

• 二尺度漸近展開および均質化理論を用いて、周期的微細構造の均質化弾性テンソルを事前計算する。
• 均質化空間における緩和された最適化問題を定式化し、有効弾性テンソルを設計変数として扱う。
• 三段階最適化パイプラインを適用する：(1) 均質化特性の事前計算、(2) 方向および微細幾何形状のパラメトリック最適化、(3) 方向マッピング φ を用いた物理的ラティスの再構築。
• マップ φ を用いて最適な方向を物理的ラティスグリッドに射影し、特異点および非一様な方向に対し特別な処理を施す。
• 二重角 β = 2α を用いた正則化を方向場に適用し、特異点を除去し、製造可能性を向上させる。
• 再構築されたラティスの後処理およびクリーニングを行い、幾何的一致性および製造可能性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 均質化理論をどのように効果的に復活させ、additive manufacturing に適した最適ラティス材料を設計できるか？
• RQ2 最適方向場における特異点が除去できない条件は何か。また、それらはどのように緩和できるか？
• RQ3 微細構造幾何形状と方向を同時に最適化することで、固定方向または固定幾何形状のアプローチと比較して、剛性最小化がどの程度向上するか？
• RQ4 均質化法は、SIMP 法によるものと比較して、より優れた異方性挙動を示す設計を生成できるか？
• RQ5 射影マップ φ は、最適な均質化設計から製造可能なラティスを再構築する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 均質化法により、等方的 SIMP 設計と比較して顕著に優れた機械的性能を示す異方性で周期的なラティス構造を設計可能である。
• 方向場の正則化により、キャンチレバーおよび MBB ビームの事例で問題となる特異点が効果的に除去され、安定した再構築が可能となった。
• L ビームの事例では、正則化により本来ラティス整列を乱す特異点が除去され、このステップの必要性が明確に示された。
• 電気支持杭の事例では、正則化を施しても特異点が依然として残ったため、より強化された正則化または拡張された有限要素空間の必要性が示された。
• 穴の寸法などのパrameter を含む方向と微細幾何形状の共同最適化により、変数を別々に最適化する場合よりも低い剛性が得られ、完全な設計自由度の利点が確認された。
• φ 射影ステップにより、製造可能なラティス設計が得られ、ε の減少（ε = 0.2, 0.1, 0.05）に伴い収束が観察されたことから、細かいスケールでも安定性が確認された。