[論文レビュー] The homology of Richard Thompson's group F

Kenneth S. Brown|ArXiv.org|Nov 15, 2004

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 15被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、リチャード・トーマプソンの群 F の積分ホモロジーおよびコホモロジー環の詳細な計算を提供し、そのホモロジーが、特定の関係を満たす次数 0 および 1 の生成元によって生成される非ユニタリな結合的環であることを確立している。主な結果は、コホモロジー環が $igwedge(a,b) cong Gamma(u)$ に同型であることであり、ここで $a,b$ は外積代数の次数 1 の生成元、$u$ は分割多項式環の次数 2 の生成元である。この結果により、F がケーラー群であるための必要条件を満たしていることが確認される。

ABSTRACT

In the early 1980s Ross Geoghegan and I calculated the homology of Richard Thompson's group F as a graded abelian group. It turns out that the homology admits a natural ring structure, which I calculate in this paper. As a byproduct, I obtain the ring structure on the cohomology.

研究の動機と目的

• トーマプソン群 F の積分ホモロジーの環構造について、後続のスタインの研究に埋め込まれていたが、自立的かつ独自の証明を提供すること。
• F の積分コホモロジー環を明示的に計算し、特にスタインの一般的枠組みでは十分に詳細に扱われていなかった構造を明確にすること。
• ロス・ジーオヒガンが提起した「F はケーラー群か？」という問いに応えるために、カップ積 $H^1 \otimes H^1 \to H^2$ が非自明であることを確認すること。
• F のホモロジーがすべての正の次数で自由生成され、双対性を用いてコホモロジーを直接計算できるような環構造を持つことを確立すること。
• 交換子部分群 $F'$ のホモロジーが $\mathbb{Z}[t]$ と同型であることを示し、F が $F' \times F_{\text{ab}}$ のようにホモロジカルに振る舞うことを明らかにすること。

提案手法

• F の $K(F,1)$ の立方体複体 $X$ を構成し、$X \times X \to X$ となる厳密に結合的な積写像を定義することで、セル複体チェイン複体 $C_*(X)$ 上に微分付き環構造を誘導する。
• X 上の積構造を用いて、$F \times F \to F$ となるホモトピー的可換性を満たすホモーマーフィズム $\mu$ を定義し、これにより $H_*(F)$ 上の環構造が誘導されるが、$\mu$ は同型類の意味での結合的であるにとどまる。
• 微分付き環 $C_*(X)$ のホモロジーを直接計算し、$n > 0$ に対して $H_n(F) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ が成り立ち、次数 1 の生成元 $\alpha$ と $\beta$ を持つことを示す。
• 関係式 $\varepsilon^2 = \varepsilon$, $\varepsilon\alpha = \beta\varepsilon = 0$, $\alpha\varepsilon = \alpha$, $\varepsilon\beta = \beta$, および $\alpha^2 = \beta^2 = 0$ を用いて、$H_*(F)$ 上の環構造を同定する。交替的な $\alpha$ と $\beta$ の積 $\alpha\beta\alpha\cdots$ および $\beta\alpha\beta\cdots$ が、すべての正の次数 $n$ に対して $H_n(F)$ の基底をなす。
• 双対性を用いて、対角写像 $\Delta: H_*(F) \to H_*(F) \otimes H_*(F)$ の双対をとることでコホモロジー環 $H^*(F)$ を計算し、$\alpha$ と $\beta$ の原始的性質および $t = \beta\alpha$ のコマルチプライケーションを用いる。
• ホモロジー同値 $F \to F' \times F_{\text{ab}}$ を用いて、$H^*(F) \cong H^*(F') \otimes H^*(F_{\text{ab}})$ を得る。ここで $H^*(F') \cong \Gamma(u)$ で $\deg u = 2$、$H^*(F_{\text{ab}}) \cong \bigwedge(a,b)$ で $\deg a = \deg b = 1$ であることを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーマプソン群 F の積分ホモロジーの環構造は何か？ そして、幾何学的・代数的構成からどのように導かれるか？
• RQ2 カップ積 $H^1(F) \otimes H^1(F) \to H^2(F)$ は消えるのか、それとも消えないのか？ これはケーラー群の問題にどのような含意を持つのか？
• RQ3 コホモロジー環 $H^*(F)$ は明示的に計算可能であり、外積代数や分割多項式環といった標準的な代数的構造で表現可能か？
• RQ4 交換子部分群 $F'$ のホモロジーは、F 全体のホモロジーとどのように関係しているか？ また、これは $\mathbb{Z}[t]$ と同型に特定可能か？
• RQ5 F がどの程度 $F' \times F_{\text{ab}}$ のようにホモロジカルに振る舞うか？ そして、これはそのコホモロジーの計算をどのように支援するか？

主な発見

• 積分ホモロジー $H_*(F)$ は、次数 0 の冪等元 $\varepsilon$ と次数 1 の元 $\alpha, \beta$ によって生成される非ユニタリな結合的環であり、関係式 $\varepsilon^2 = \varepsilon$, $\varepsilon\alpha = \beta\varepsilon = 0$, $\alpha\varepsilon = \alpha$, $\varepsilon\beta = \beta$, および $\alpha^2 = \beta^2 = 0$ を満たす。
• すべての正の次数 $n$ に対して、交替的な積 $\alpha\beta\alpha\cdots$ と $\beta\alpha\beta\cdots$ が $H_n(F)$ の基底をなしており、$n > 0$ に対して $H_n(F) \cong \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}$ が成り立つ。
• F のコホモロジー環は $H^*(F) \cong \bigwedge(a,b) \otimes \Gamma(u)$ に同型であり、ここで $a,b$ は外積代数の次数 1 の生成元、$u$ は分割多項式環の次数 2 の生成元である。
• $t = \beta\alpha \in H_2(F)$ は $\mathbb{Z}[t]$ と同型な部分環を生成し、これは $F$ の交換子部分群 $F'$ のホモロジー $H_*(F')$ と同一視され、対角作用の下で原始的である。
• カップ積 $H^1(F) \otimes H^1(F) \to H^2(F)$ は非自明であり、$ab$ が $H^2(F)$ 内で非ゼロの元であるため、F がケーラー群である可能性と整合的である。
• ホモロジー同値 $F \to F' \times F_{\text{ab}}$ は、$H_*(F) \cong H_*(F') \otimes H_*(F_{\text{ab}})$ を誘導し、この分解がコホモロジー環構造の根拠となっている。