[論文レビュー] The homotopy and cohomology of spaces of locally convex curves in the sphere -- II

Nicolau C. Saldanha|arXiv (Cornell University)|May 13, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、2次元球面上の局所凸曲線の空間の2つの非可縮連結成分の第二整係数コホモロジー群および第二ホモトピー群を特定し、$ H^2({\cal L}_{+1};\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}^2 $、$ H^2({\cal L}_{-1,n};\mathbb{Z}) = \mathbb{Z} $ であり、両成分とも単連結であることを証明する。ループの操作とメイヤー＝ビートリス系列を用いた微分幾何学的・代数的トポロジー的手法により、既知の可縮成分とは異なり、無限次元空間の構造を明らかにする。

ABSTRACT

A smooth curve $γ: [0,1] o S^2$ is locally convex if its geodesic curvature is positive at every point. J. A. Little showed that the space of all locally positive curves $γ$ with $γ(0) = γ(1) = e_1$ and $γ'(0) = γ'(1) = e_2$ has three connected components $L_{-1,c}$, $L_{+1}$, $L_{-1,n}$. The space $L_{-1,c}$ is known to be contractible but the topology of the other two connected components is not well understood. We prove that all connected components of $L_I$ are simply connected, that $H^2(L_{+1};Z) = Z^2$ and $H^2(L_{-1,n};Z) = Z$.

研究の動機と目的

• 2次元球面上の局所凸曲線の空間の非可縮連結成分の第二整係数コホモロジー群および第二ホモトピー群を特定すること。
• 以前はよく理解されていなかった $ \mathcal{L}_{+1} $ および $ \mathcal{L}_{-1,n} $ の位相的構造を解明すること。これは、$ \mathcal{L}_{-1,c} $ が可縮であるにもかかわらず、その事実とは対照的である。
• 既存のホモトピー全射性に関する結果を拡張し、コホモロジー群およびホモトピー群に対する上界を提供することで、これらの無限次元空間の位相的性質を完全に明らかにすること。

提案手法

• 曲線内のループを操作可能な $ \Delta^\sharp $ 構成を用いることで、互いに交わらないループ被覆とホモトピー削減を可能にする。
• 開集合 $ A $ と $ B $ を用いたメイヤー＝ビートリス系列の適用。ここで $ A $ は星型曲線 $ \mathcal{T}_0 $ を含み、$ B $ はその補集合を含む。これにより $ H^2(\mathcal{L}_{+1}) $ を計算する。
• 既知の浸漬みの空間 $ \mathcal{I}_{\pm 1} \simeq \Omega S^3 $ のホモトピー型を活用し、その部分空間 $ \mathcal{L}_{\pm 1} $ との包含写像が誘導するホモトピーおよびコホモロジー群への写像を分析する。
• 横断性と三角形分割の技法を用いて、$ \mathcal{L}_I \setminus (\mathcal{L}_{-1,c} \cup \mathcal{T}_0) $ への球面からの写像を、互いに交わらないループ被覆を許容するホモトープ写像に還元する。
• ホルエチツィュの定理を用い、$ \pi_2 $ と $ H^2 $ の関係を確立し、交差数と幾何的代表元を用いてこれらの群の生成元を特定する。
• 幾何的生成子 $ \mathbf{f}_2 \in H^2(\mathcal{L}_{+1};\mathbb{Z}) $ を、$ \mathcal{T}_1 $ 内のcodimension-2部分複体 $ \mathcal{F}_2 \subset \mathcal{T}_1 $ との交差数として定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元球面 $ \mathbb{S}^2 $ 上の局所凸曲線の成分 $ \mathcal{L}_{+1} $ の第二整係数コホモロジー群は何か？
• RQ2 2次元球面 $ \mathbb{S}^2 $ 上の局所凸曲線の成分 $ \mathcal{L}_{-1,n} $ の第二整係数コホモロジー群は何か？
• RQ3 $ \mathcal{L}_{+1} $ および $ \mathcal{L}_{-1,n} $ の連結成分は単連結であるか？
• RQ4 $ \mathcal{L}_{+1} $ および $ \mathcal{L}_{-1,n} $ のホモトピー群およびコホモロジー群は、埋め込まれた浸漬みの空間 $ \mathcal{I}_{\pm 1} $ のそれらとどのように比較できるか？
• RQ5 $ \mathcal{L}_{\pm 1} $ から $ \mathcal{I}_{\pm 1} $ への包含写像が $ \pi_2 $ および $ H^2 $ に同型を誘導するかを示せるか？

主な発見

• 成分 $ \mathcal{L}_{+1} $ の第二整係数コホモロジー群は $ H^2(\mathcal{L}_{+1};\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}^2 $ であり、標準的クラス $ \mathbf{x} $ と、codimension-2部分複体との幾何的交差数から生じる追加クラス $ \mathbf{f}_2 $ によって生成される。
• 成分 $ \mathcal{L}_{-1,n} $ の第二整係数コホモロジー群は $ H^2(\mathcal{L}_{-1,n};\mathbb{Z}) = \mathbb{Z} $ であり、標準的クラス $ \mathbf{x} $ によって生成され、$ \mathcal{I}_{-1} $ への包含写像は $ H^2 $ に同型を誘導する。
• $ \mathcal{L}_{+1} $ の第二ホモトピー群は $ \pi_2(\mathcal{L}_{+1}) = \mathbb{Z}^2 $ であり、代表的写像 $ \mathbf{g}_2 $ とその $ \nu_2 $-変換 $ \nu_2 * \mathbf{g}_2 $ によって生成される。
• $ \mathcal{L}_{-1,n} $ の第二ホモトピー群は $ \pi_2(\mathcal{L}_{-1,n}) = \mathbb{Z} $ であり、$ \mathcal{I}_{-1} $ への包含写像は $ \pi_2 $ に同型を誘導する。これは同じ構造を持つことを示唆する。
• $ \mathcal{L}_{+1} $ および $ \mathcal{L}_{-1,n} $ は、適切なループ操作を施した後、任意の $ \mathbb{S}^1 $ からの写像が定数写像にホモトープであることを示すことにより、単連結であることが確認された。
• 星型曲線 $ \mathcal{T}_0 $ とその補集合を含む分解にメイヤー＝ビートリス系列を適用することで、$ H^2(\mathcal{L}_{+1};\mathbb{Z}) = \mathbb{Z}^2 $ が確認され、第二生成子は $ \mathcal{T}_1 $ の正規バンドルから生じる。