[論文レビュー] The homotopy fixed point theorem and the Quillen-Lichtenbaum conjecture in hermitian K-theory

A. J. Berrick, Max Karoubi+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 38被引用数 5

ひとこと要約

本稿はヘルミートK理論における2つの主要な予想を確立する。まず、代数的K理論のℤ/2作用におけるホモトピー固定点と高次グロテンディーク＝ワット群（ヘルミートK理論）との間で2進的同値性を証明し、次にクイレン＝リヒテンバウム予想のヘルミート版を検証する。具体的には、古典的K理論と同様の範囲で、ヘルミートK理論とそのエタール版との間のmod 2^ν比較写像がホモトピー群上で同型であることを示す。これらの結果により、数体における2整数環や複素代数的多様体の高次グロテンディーク＝ワット群の明示的計算が可能となり、それらの位数がディーデキンドゼータ関数の特別値と関連付けられる。

ABSTRACT

Let X be a noetherian scheme of finite Krull dimension, having 2 invertible in its ring of regular functions, an ample family of line bundles, and a global bound on the virtual mod-2 cohomological dimensions of its residue fields. We prove that the comparison map from the hermitian K-theory of X to the homotopy fixed points of K-theory under the natural Z/2-action is a 2-adic equivalence in general, and an integral equivalence when X has no formally real residue field. We also show that the comparison map between the higher Grothendieck-Witt (hermitian K-) theory of X and its étale version is an isomorphism on homotopy groups in the same range as for the Quillen-Lichtenbaum conjecture in K-theory. Applications compute higher Grothendieck-Witt groups of complex algebraic varieties and rings of 2-integers in number fields, and hence values of Dedekind zeta-functions.

研究の動機と目的

• ノエーザー的スキームに対して、代数的K理論とヘルミートK理論の間のホモトピー固定点同値性に関するウィリアムズの予想を解決すること。
• クイレン＝リヒテンバウム予想のヘルミート版を確立し、古典的K理論と同様の範囲で、ヘルミートK理論とそのエタール版との間のmod 2^ν比較写像がホモトピー群上で同型であることを証明すること。
• エタールコホモロジーとスペクトル系列を用いて、完全実数体における2整数環および複素代数的多様体の高次グロテンディーク＝ワット群を計算すること。
• これらの群の位数がディーデキンドゼータ関数の特別値と関係することを示し、負の整数におけるゼータ関数の値に対して明示的公式を導出すること。

提案手法

• ユニタリ群のℤ/2作用におけるホモトピー固定点と直交群の分類空間との間で2進的ホモトピー同値性を証明し、トポロジカルな実K理論の同値性を一般化する。
• ホモトピー固定点スペクトル系列：H^{-p}(C₂; K_q(R)) ⇒ GW_{p+q}(R) を用い、古典的クイレン＝リヒテンバウムスペクトル系列をヘルミートK理論へ拡張する。
• ニシュネヴィッチ降下およびモチーフ的ホモトピー論の結果（特にフ・クライツ・オルムシーの研究およびヴォエヴォズキーによるミルナー予想の証明）を応用し、比較定理を確立する。
• 数体における2整数環のヘルミートK理論群を計算するために、ねじれたℤ₂およびμ₂係数を用いたエタールコホモロジーを適用する。
• 特に8を法としての次数において、エタールコホモロジー群と高次グロテンディーク＝ワット群との間のスペクトル系列を導出する。
• これらのスペクトル系列を、数体の整数環のK理論に関する既知の結果と組み合わせることで、GW群の位数およびゼータ関数との関係を明示的に導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノエーザー的スキームに対して、ヘルミートK理論から代数的K理論のホモトピー固定点への比較写像が2進的同値性を満たすか？
• RQ2 ヘルミートK理論とそのエタール版との間のmod 2^ν比較写像が、クイレン＝リヒテンバウム予想と同様の範囲でホモトピー群上で同型を誘導するか？
• RQ3 完全実数体における2整数環の高次グロテンディーク＝ワット群が、エタールコホモロジーとスペクトル系列を用いて計算可能か？
• RQ4 これらの群の位数がディーデキンドゼータ関数の特別値と関係しており、もしそうなら明示的公式を導出可能か？
• RQ5 F が完全実数体であるとき、R = 𝒪_F' に対して GW_i(R) の構造は、特にエタールコホモロジーおよびねじれた係数を用いてどのように記述できるか？

主な発見

• ノエーザー的スキームに対して、ヘルミートK理論から代数的K理論のホモトピー固定点への比較写像は2進的同値性を満たし、トポロジカル実K理論の同値性を一般化する。
• モジュラス 2^ν におけるヘルミートK理論とそのエタール版との間の比較写像は、クイレン＝リヒテンバウム予想と同様の範囲でホモトピー群上で同型であり、ヘルミート版クイレン＝リヒテンバウム予想が確認された。
• 完全実数体における2整数環に対して、ねじれたℤ₂およびμ₂係数を用いたエタールコホモロジーにより、高次グロテンディーク＝ワット群が計算可能であり、明示的スペクトル系列が得られる。
• GW_{8k+2}^{[0]}(𝒪_F') および GW_{8k+3}^{[0]}(𝒪_F') の位数は ζ_F(-1-4k) と関係し、その比は 2^r / w_{4k+2} に等しい。ここで w_{4k+2} = 2^{a_F + ν₂(4k+2)} である。
• 同様に、ζ_F(-3-4k) は奇数倍を除き 2^r / w_{4k+4} に等しく、GW_{8k+6}^{[0]}(𝒪_F') と GW_{8k+7}^{[0]}(𝒪_F') の位数の比も 2^r / w_{4k+4} に等しい。
• GW_{8k+6}^{[2]}(𝒪_F') のねじれ部分群は ζ_F(-3-4k) の公式に現れ、これによりヘルミートK理論におけるねじれがゼータ関数の値によって検出可能であることが示された。