[論文レビュー] The homotopy theory of equivariant posets

J. P. May, Marc Stephan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$G$-posetの圏にQuillen同値なモデル構造を確立し、等変位相空間のホモトピー理論を等変位相posetが表現できることを示している。固定点関手を介して$G$-集合の軌道圏から$G$-posetへモデル構造を転送することにより、著者らは、弱同値およびファイブレーションが固定点poset上でレベルワイズに検出可能であることを証明し、$G$-posetのホモトピー理論が$G$-空間、$G$-圏、$G$-単体的集合のそれと同値であることを得た。

ABSTRACT

Let $G$ be a discrete group. We prove that the category of $G$-posets admits a model structure that is Quillen equivalent to the standard model structure on $G$-spaces. As is already true nonequivariantly, the three classes of maps defining the model structure are not well understood calculationally. To illustrate, we exhibit some examples of cofibrant and fibrant posets and an example of a non-cofibrant finite poset.

研究の動機と目的

• $G$-空間、$G$-圏、$G$-単体的集合の標準的モデル構造とQuillen同値となる$G$-posetの圏におけるモデル構造を確立すること。
• Raptisのposetにおけるモデル構造とBohmannらの$G$-圏に関する結果を、軌道圏を用いて等変設定に拡張すること。
• 等変位相空間のホモトピー理論が、$G$-posetの組合せ的枠組み内に完全に記述可能であることを示すこと。
• 固定点データに基づいて、$G$-posetのホモトピー的性質を明確化し、コフェイブルおよびファイブレーション対象を特徴づけ、非コフェイブルな例を同定すること。

提案手法

• $G$-集合の軌道圏$\mathcal{O}_G$を用い、反変関手$\mathcal{O}_G \to \mathbf{Pos}$の圏にレベルワイズモデル構造を定義する。
• $G$-poset $X$ に対してすべての部分群$H \leq G$についての固定点poset $X^H$ を割り当てる固定点図式関手$\Phi: G\mathbf{Pos} \to \mathcal{O}_G\text{-}\mathbf{Pos}$ を定義する。
• $\Phi$ が、コンパクト生成で、適切なモデル構造を$G\mathbf{Pos}$ に作ることを証明し、弱同値およびファイブレーションが$\Phi$ を通じて検出可能であることを示す。
• 左随伴$\Lambda$ が関手$Y$ を$Y(G/e)$ に送るという形で、$G\mathbf{Pos}$ と$\mathcal{O}_G\text{-}\mathbf{Pos}$ の間のQuillen随伴を構成し、それがQuillen同値であることを示す。
• posetにおけるファンクター的分解およびプッシュアウト・プルバックの性質を用いて、特に連結成分においてコフェイブルおよびファイブレーション対象を分析する。
• 部分モデル構造に関する命題の部分的逆を適用し、最大射影を含む連結ファイブレーションposetがコンパクトであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等変位相空間のホモトピー理論は、固定点関手と軌道圏を介して、$G$-posetの圏内でQuillen同値なモデル構造によって完全に記述可能か？
• RQ2 コフェイブルおよびファイブレーション$G$-posetはどのように振る舞い、固定点データに基づいてどのように特徴づけられるか？
• RQ3 軌道圏から自然に生じる$G$-posetにおけるモデル構造は、非等変posetおよび$G$-圏の既知の結果を拡張するものか？
• RQ4 特定の成分における最大射影との関係で、$G$-posetがコンパクトであるための条件は何か？
• RQ5 有限$G$-posetでコフェイブルでないものはあるか？ そして、それらはどのようにコフェイブル性条件を満たさないか？

主な発見

• $G\mathbf{Pos}$ の圏は、$G\mathbf{Top}$、$G\mathbf{Cat}$、$G\mathbf{sSet}$ の標準的モデル構造とQuillen同値である、コンパクト生成で適切なモデル構造を備えている。
• $G$-posetの写像が弱同値またはファイブレーションであるための必要十分条件は、固定点関手$\Phi$ による像が$\mathcal{O}_G\text{-}\mathbf{Pos}$ において弱同値またはファイブレーションであることである。
• $G\mathbf{Pos}$ と$\mathcal{O}_G\text{-}\mathbf{Pos}$ の間の随伴$(\Lambda, \Phi)$ はQuillen同値であり、ホモトピー的同値性を確立している。
• 最大射影を含む連結ファイブレーション$G$-posetは、その成分におけるプッシュアウト・プルバックの存在を用いてコンパクトであることが示された。
• 非コフェイブルな有限$G$-posetの例が提示され、有限等変posetであってもコフェイブル性が自発的に成り立たないことが示された。
• $G\mathbf{Pos}$ のモデル構造は、Bohmann らの$G$-圏に関する研究の裏にあるものであり、Raptisの非等変posetに関する結果を一般化している。