[論文レビュー] The Hopf algebra $Rep U_q \hat{gl}_\infty$

Edward Frenkel, E. Mukhin|ArXiv.org|Mar 20, 2001

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、量子アフィン代数 $U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ の有限次元多項式表現のグロタンディーク群にホプフ代数構造を構成し、$a \in \mathbb{C}^\times / q^{2\mathbb{Z}}$ でインデックス付けられるテンソル積への分解を示す。$q$ が一般の場合、$\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ をプルニポテンツなプロ代数的群 $\widetilde{SL}^-_\infty$ 上の正則関数の代数と同定し、単位根の場合には基本的表現のフロベニウス引き戻しを $\widetilde{GL}^-_l$ 内の行列式に関連づけ、明示的な公式を導出する。

ABSTRACT

We define the Hopf algebra structure on the Grothendieck group of finite-dimensional polynomial representations of $U_q \hat{gl}_N$ in the limit $N o \infty$. The resulting Hopf algebra $Rep U_q \hat{gl}_\infty$ is a tensor product of its Hopf subalgebras $Rep_a U_q \hat{gl}_\infty$, $a\in\C^ imes/q^{2\Z}$. When $q$ is generic (resp., $q^2$ is a primitive root of unity of order $l$), we construct an isomorphism between the Hopf algebra $Rep_a U_q \hat{gl}_\infty$ and the algebra of regular functions on the prounipotent proalgebraic group $SL_\infty^-$ (resp., $ ilde{GL}_l^-$). When $q$ is a root of unity, this isomorphism identifies the Hopf subalgebra of $Rep_a U_q \hat{gl}_\infty$ spanned by the modules obtained by pullback with respect to the Frobenius homomorphism with the algebra generated by the coefficients of the determinant of an element of $ ilde{GL}_l^-$. This gives us an explicit formula for the Frobenius pullbacks of the fundamental representations. In addition, we construct a natural action of the Hall algebra associated to the infinite linear quiver (resp., the cyclic quiver with $l$ vertices) on $Rep_a U_q \hat{gl}_infty$ and describe the span of the tensor products of the evaluation representations taken at fixed points as a module over this Hall algebra.

研究の動機と目的

• 有限次元多項式表現のグロタンディーク群 $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_N$ の $N \to \infty$ における極限における $U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_N$ のホプフ代数構造を定義し、研究すること。
• $\operatorname{Rep} U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ を $a \in \mathbb{C}^\times / q^{2\mathbb{Z}}$ でインデックスされた部分代数のテンソル積に分解すること。
• $q$ が一般の場合、$\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ とプルニポテンツなプロ代数的群 $\widetilde{SL}^-_\infty$ 上の正則関数の代数との同型を確立すること。単位根の場合には、$\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ と $\widetilde{GL}^-_l$ 上の正則関数の代数との同型を確立すること。
• 無限次元線形クーヴィエルと循環クーヴィエルのホール代数が $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ に作用する方法を記述し、評価表現のテンソル積のスパンがこれらの代数のモジュールとしてどのように構造化されるかを特定すること。

提案手法

• $N \to \infty$ における $\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_N$ の帰納的極限を用い、群準同型 $GL_{N_1} \times GL_{N_2} \to GL_N$ を通じてテンソル積とコムルティプリケーションによるホプフ代数構造を引き継ぐ。
• $q$ が一般の場合、$q$-特徴写像と完全可換な表現がシュール多項式に対応することを用いて、$\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ と $\mathbb{Z}[\widetilde{SL}^-_\infty]$ 間の同型を確立する。
• 単位根の場合、フロベニウス準同型が表現を引き戻し、その像はテイラー級数環上の $l \times l$ 行列の行列式の係数と特定される。これにより、$\operatorname{Rep}_a U_\varepsilon^{\rm res}\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ と $\mathbb{Z}[\widetilde{GL}^-_l]$ 間の同型が得られる。
• ホール代数の作用は、$\operatorname{Rep}_a U_\varepsilon^{\rm res}\widehat{\mathfrak{gl}}_N$ の帰納的極限を用いて構成され、固定点における評価表現のスパンは、$l$ 個の頂点を持つ無限次元線形クーヴィエルまたは循環クーヴィエルのホール代数のモジュールとして実現される。
• 本稿では、$\chi_q: \operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_N \to \mathbb{Z}[\Lambda_{i,aq^{2n}}]$ を用い、完全可換な表現をその $q$-特徴にマッピングする $q$-特徴写像を用いる。
• 図12に示される可換図式を構成し、さまざまな整数的形態のフォック空間、真空モジュールの双対、$\widetilde{SL}^-_\infty$、$\widetilde{GL}^-_l$、$\widetilde{SL}^-_l$ 上の関数代数を関連づける。すべての写像が可換であることを示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_N$ の有限次元多項式表現のグロタンディーク群は、$N \to \infty$ の極限においてどのように振る舞い、どのようなホプフ代数構造を引き継ぐか？
• RQ2 $q$ が一般の場合、$\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ と $\widetilde{SL}^-_\infty$ 上の正則関数の代数との正確な同型は何か？
• RQ3 単位根の場合、フロベニウス準同型は基本的表現にどのように作用し、テイラー級数環上の行列式の係数として像はどのように表されるか？
• RQ4 無限次元線形クーヴィエルおよび $l$ 個の頂点を持つ循環クーヴィエルのホール代数は、$\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ にどのように作用するか？また、固定点における評価表現のスパンは、モジュールとしてどのように構造化されるか？
• RQ5 単位根の場合、$q$-特徴の母関数から、可解的 $\widehat{\mathfrak{sl}}_l$-モジュールの特徴を回復できるか？

主な発見

• $q=1$ のとき、ホプフ代数 $\operatorname{Rep} U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ は対称関数の代数 $\Lambda_\infty$ と同型であり、帰納的極限の構成により、量子群への一般化がなされる。
• $q$ が一般の場合、$\operatorname{Rep}_a U_q\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ はプルニポテンツなプロ代数的群 $\widetilde{SL}^-_\infty$ 上の正則関数の代数と同型であり、$q$-特徴写像によって誘導される。
• $q^2$ が $l$ 次の原始根の単位根であるとき、$\operatorname{Rep}_a U_\varepsilon^{\rm res}\widehat{\mathfrak{gl}}_\infty$ は $\mathbb{Z}[\widetilde{GL}^-_l]$ と同型であり、基本的表現のフロベニウス引き戻しは、テイラー級数環上の $l \times l$ 行列の行列式の係数に対応する。
• 固定点における評価表現のテンソル積のスパンは、無限次元線形クーヴィエル（または $l$ 個の頂点を持つ循環クーヴィエル）のホール代数のモジュールとして構成され、帰納的極限の構成により作用が実現される。
• 単位根における $q$-特徴の母関数 $\chi^{(l)}_{\boldsymbol{s}}(\xi)$ は、主順位において重み $\sum_{i=1}^k \varpi_{s_i}$ の可解的 $\widehat{\mathfrak{sl}}_l$-モジュールの特徴と一致する。図12の可換図式により、この予想は裏付けられている。
• 図12に示される可換図式において、整数的形態のフォック空間、真空モジュールの双対、$\widetilde{SL}^-_\infty$、$\widetilde{GL}^-_l$、$\widetilde{SL}^-_l$ 上の関数代数を関連づけるすべての写像が可換であることが証明され、量子群の双対性を一貫した枠組みで確立した。