[論文レビュー] The Hubbard Model: Some Rigorous Results and Open Problems

Elliott H. Lieb|ArXiv.org|Nov 13, 1993

Quantum many-body systems被引用数 24

ひとこと要約

この論文は、強い電子相関を記述する基礎的なモデルである Hubbard モデルについて、厳密な定理と未解決の数学的問題に焦点を当てた、きわめて洗練された結果を提示する。二部格子上の半分満たし帯において、一粒子密度行列が複雑な hopping 項にかかわらず、部分格子上では一様であることを示す一様密度定理を確立した。これは、空孔-粒子対称性および反ユニタリ変換に根ざした深い対称性を示しており、平均サイト占有数の強固な安定性を示唆し、磁性秩序やフラックス相に関する仮定に挑戦する。

ABSTRACT

Paper: cond-mat/9311033 The Hubbard model of interacting electrons, like the Ising model of spin-spin interactions, is the simplest possible model displaying many ``real world'' features, but it is much more difficult to analyze qualitatively than the Ising model. After a third of a century of research, we are still not sure about many of its basic properties. This mini-review will explore what is known rigorously about the model and it will attempt to describe some open problems that are possibly within the range of rigorous mathematical analysis.

研究の動機と目的

• Hubbard モデルに関する厳密な数学的結果、特に基底状態の性質と対称性に焦点を当てる。
• まだ厳密な数学的解析にアクセス可能な、モデルに残された未解決問題を特定し、明確に述べる。
• パウリの排他原理が、特に移動電子系において磁性を生成する役割を明らかにする。
• 空孔-粒子対称性および反ユニタリ不変性が、電子密度分布の安定性に与える影響を検討する。
• 運動エネルギーが非磁性状態を好む中で、フェルマー磁性または反強磁性が Hubbard モデルにおいてどのように出現するかの条件を調査する。

提案手法

• 2次量子化形式を用いて、運動エネルギー $ K = K_{\uparrow} + K_{\downarrow} $ と局所的相互作用 $ U_x $ を持つ Hubbard ハミルトニアンを定義する。
• 空孔-粒子変換 $ W $ と反ユニタリ写像 $ J $ を組み合わせ、$ Y = JW $ を用いて、ハミルトニアンが $ Y $ に関して不変であることを示す。
• 一様密度定理（定理 4）を導出し、$ x,y \in A $ または $ x,y \cap B $ に対して、複雑な $ t_{xy} $ およびすべての $ U_x $ に対して $ \rho_{\sigma}(x,y) = \frac{1}{2}\delta_{xy} $ が成り立つことを示す。
• 磁気フラックスを伴う基底状態エネルギーを分析し、特に、正方形格子上での半分満たし状態において、1プレチット当り $ \pi $ フラックスがエネルギーを最小化すると予想する。
• 一般化分配関数および正準分配関数、およびそれらの $ \beta \to \infty $ での極限を用いて、 degenerate な状況における基底状態を定義する。
• トレース性質を保ちながら $ Y $ に関して不変性を実現するため、非線形反ユニタリ写像 $ J $ を適用し、$ T $ が複素数であっても成立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反発的相互作用を有する Hubbard モデルが、飽和フェルマー磁性を示しうるか。その条件は何か。
• RQ2 正方形格子上での半分満たし帯において、$ U \neq 0 $ であっても、基底状態エネルギーが 1プレチット当り $ \pi $ フラックスで最小化されるか。
• RQ3 一様密度定理（定理 4）は、半分満たしから逸脱した状態、すなわち $ N \neq |\Lambda| $ の場合にも、安定しているか。
• RQ4 スピン-スピン相互作用が明示的に存在しない状況で、運動エネルギーと電子-電子反発の相互作用がどのように磁性を生じさせるか。
• RQ5 正方形格子上での有限 $ U $ における半分満たし状態において、Hubbard モデルのフラックス相予想を厳密に証明できるか。

主な発見

• 二部格子上での半分満たし Hubbard モデルにおいて、複雑な hopping 項にかかわらず、すべての $ x,y \in A $ または $ x,y \in B $ に対して、一粒子密度行列 $ \rho_{\sigma}(x,y) $ は一様に $ \frac{1}{2}\delta_{xy} $ に等しい。
• 反ユニタリ写像 $ Y = JW $ によるハミルトニアンの不変性は、複素 $ t_{xy} $ に対しても一様密度の結果を保証する。
• フラックス相予想は $ U = 0 $ の場合に厳密な結果により支持され、$ U \neq 0 $ へ拡張され、半分満たし状態において 1プレチット当り $ \pi $ フラックスが基底状態エネルギーを最小化することが示唆される。
• 一様密度定理は、熱力学的極限において、部分格子間の対称性を破るような局所的ポテンシャルや hopping の変更が、片方のスピン状態を他方よりも好むようにはならないことを示唆する。
• この定理は、正準、一般化分配関数、および基底状態の極限においても成り立つため、さまざまな統計集団において平均サイト占有数の深い安定性を示している。
• この結果は、反強磁性状態におけるスピン秩序のための直感的な期待とは矛盾する。対称性により、すべての秩序状態には符号が反転したデジェネレートな対応状態が存在し、その結果として平均密度は一様になる。