[論文レビュー] The hydrodynamic singular vortex on the sphere and the Dirac monopole

S. G. Chefranov, И. И. Мохов+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2017

Quantum, superfluid, helium dynamics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、球面上の流体的特異渇き渦とディラック磁荷単極子との間で正確な数学的対応関係を確立し、トポロジカル制約のため、孤立した渦は流体力学的系では存在できないことを示している。代わりに、循環が逆向きのペaired渦（双極子）のみがガウス＝ケルビンの定理を満たす。これは、磁荷単極子が双極子として存在しなければならないという物理的要請と一致する。

ABSTRACT

An exact correspondence is established between mathematical description of the single "elementary vortex" (EV)velocity on the sphere (Zermelo,1902;Bogomolov,1977) and the Dirac magnetic monopole (DMM) vector potential (Dirac, 1931). Similar analogy with DMM was noted only for the vortices in quantum fluid He-3A (Blaha,1976;Volovik,Mineev,1976). Singular EV on a sphere is usually considered using compensating vortex field, uniformly distributed over the sphere. It is necessary to meet the Gauss-Kelvin theorem with zero integral vorticity over the sphere. However since Bogomolov (1977)(see also Dritshel,Boatto,2015)uniform vorticity impact on dynamics is neglected when only the velocity field of singular EV is taken into account. It is not true because the hydrodynamic equations do not allow existence of a solution in the form of an isolated EV but allow solutions in the form of the antipodal EV pairs. It is also suggested the possibility of DMM existence only in the form of the point magnetic dipoles, consisting of two DMM with different signs of the magnetic charge.

研究の動機と目的

• 球面上の特異渦の速度場とディラック磁荷単極子のベクトルポテンシャルとの間で、正確な数学的類似性を確立すること。
• 長年のパラドックスである、球面上の孤立流体力学的渦の問題を、ガウス＝ケルビンの定理に違反することを示すことによって解決すること。
• 従来の仮定である、渦度の均一な補正項を無視できるとみなす考えを疑問視すること。
• 磁荷単極子が双極子として存在しなければならないのと同様に、閉じた系における流体力学的渦も、ペア（反対称）として出現しなければならないと主張すること。

提案手法

• ゼルメールの形式とボゴモロフの形式を用いて、球面上の単一の特異渦の速度場を導出する。
• 得られたベクトルポテンシャル構造を、電磁気学におけるディラック単極子のゲージポテンシャルと比較する。
• ガウス＝ケルビンの循環定理を適用し、単一の渦が全渦度保存を破ることを示す。
• 反対称な渦ペア（循環が逆向き）のみが、ゼロのネット循環をもたらし、流体力学的方程式と整合することを示す。
• ゲージ理論的考察を用いて、流体力学的渦と磁荷単極子との類似性を導く。
• 磁荷単極子が双極子を形成しなければならないのと同様に、閉じた系における流体力学的渦も、双極子として出現しなければならないと主張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 球面上の流体力学的特異渦の数学的構造は、ディラック単極子のベクトルポテンシャルに正確に写像可能か？
• RQ2 なぜ孤立した特異渦は、球面流体力学においてガウス＝ケルビンの定理を満たさないのか？
• RQ3 均一な補正渦度の役割は何か？なぜ物理的に不可欠なのか？
• RQ4 球面上の渦解のトポロジカル構造は、ゲージ理論における磁荷単極子とどのように類似しているか？
• RQ5 磁気双極子ペアの概念を、球面上の流体力学的渦に類似的に適用可能か？

主な発見

• 球面上の特異渦の速度場とディラック磁荷単極子のベクトルポテンシャルとの間で、正確な対応関係が確立された。
• 孤立した特異渦は、ガウス＝ケルビンの定理に違反するため、流体力学的方程式の解として存在できない。
• 循環が逆向きの反対称渦ペアのみが、ゼロのネット渦度をもたらし、全循環制約を満たす。
• 従来の研究でしばしば無視されてきた均一な補正渦度場は、物理的に本質的であり、力学的解析で無視できない。
• 磁荷単極子が双極子として存在しなければならないのと同様に、閉じた球面系における流体力学的渦も、双極子として出現しなければならないという主張を支持する。
• 形式的類似性を越えて、両システムとも、トポロジカル整合性とゲージ不変性を保つために、ペアの源が必要である。