[論文レビュー] The hyperanalytic signal

Nicolas Le Bihan, Stephen J. Sangwine|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2010

Machine Fault Diagnosis Techniques参考文献 21被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複素信号のためのハイパーエナリティック信号を導入し、クaternionまたは複素信号の順序対として表現可能なハイパーコンPLEXな拡張としての古典的エナリティック信号を提示する。直交信号はヒルベルト変換、複素フーリエ変換、クォータニオンフーリエ変換を用いて導出され、極座標クォータニオン表現を用いて複素包絡線と位相を抽出し、変調および適正性の概念を一般化する。

ABSTRACT

The concept of the analytic signal is extended from the case of a real signal with a complex analytic signal to a complex signal with a hypercomplex analytic signal (which we call a hyperanalytic signal) The hyperanalytic signal may be interpreted as an ordered pair of complex signals or as a quaternion signal. The hyperanalytic signal contains a complex orthogonal signal and we show how to obtain this by three methods: a pair of classical Hilbert transforms; a complex Fourier transform; and a quaternion Fourier transform. It is shown how to derive from the hyperanalytic signal a complex envelope and phase using a polar quaternion representation previously introduced by the authors. The complex modulation of a real sinusoidal carrier is shown to generalize the modulation properties of the classical analytic signal. The paper extends the ideas of properness to deterministic complex signals using the hyperanalytic signal. A signal example is presented, with its orthogonal signal, and its complex envelope and phase.

研究の動機と目的

• 実数から複素信号へのエナリティック信号の概念を、ハイパーコンプレックス表現を導入することで拡張すること。
• 古典的ヒルベルト変換、複素フーリエ変換、クォータニオンフーリエ変換を用いて、複素信号の直交成分を抽出する手法を開発すること。
• ハイパーエナリティック信号フレームワークを用いて、確定的複素信号の古典的変調および適正性の概念を一般化すること。
• 極座標クォータニオン表現を用いて、ハイパーエナリティック信号から複素包絡線と位相を導出すること。
• 具体的な信号例を通じて、直交信号、包絡線、位相のフレームワークの実用的計算を示すこと。

提案手法

• ハイパーエナリティック信号をクォータニオン信号または複素信号の順序対として表現する。
• 複素信号の直交成分を生成するために、一対の古典的ヒルベルト変換を適用する。
• 周波数領域におけるハイパーエナリティック信号を導出するために、複素フーリエ変換を用いる。
• ハイパーエナリティック信号を別法として得るために、クォータニオンフーリエ変換を用いる。
• 以前に提案された極座標クォータニオン表現を用いて、複素包絡線と位相を抽出する。
• 直交信号、包絡線、位相の明示的計算を含む信号例を通じて、フレームワークを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的エナリティック信号の概念を、ハイパーコンプレックス数を用いて複素信号へどのように一般化できるか？
• RQ2 ハイパーエナリティック信号の対応する変換領域表現（ヒルベルト、フーリエ）は何か？
• RQ3 極座標クォータニオン表現を用いて、ハイパーエナリティック信号から複素包絡線と位相をどのように抽出できるか？
• RQ4 ハイパーエナリティック信号は、実エナリティック信号の古典的変調特性をどのように一般化するか？
• RQ5 ハイパーエナリティック信号フレームワークは、確定的複素信号への適正性の概念をどのように拡張するか？

主な発見

• ハイパーエナリティック信号は、ハイパーコンプレックス（クォータニオン）表現を用いて、エナリティック信号の概念を複素信号へ成功裏に拡張する。
• 複素信号の直交成分は、ヒルベルト変換、複素フーリエ変換、クォータニオンフーリエ変換の3つの異なる方法で導出可能である。
• 極座標クォータニオン表現を用いることで、ハイパーエナリティック信号から複素包絡線と位相を抽出可能である。
• ハイパーエナリティック信号は、古典的エナリティック信号の変調特性を複素正弦波キャリアへ一般化する。
• フレームワークは、ハイパーエナリティック信号の定式化を通じて、確定的複素信号への適正性の概念を拡張する。
• 信号例により、提案手法を用いて直交信号、複素包絡線、位相の実用的計算が可能であることが示された。