[論文レビュー] The hyperbolic Voronoi diagram in arbitrary dimension

Frank Nielsen, Richard Nock|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ベルトラミの半球モデルを用いて、任意次元における双曲的ボロノイ図の正確な計算を有理数演算のみで行う、新規な手法を提示する。このモデルにおいて双曲的ボロノイ図がアフィン的であることを証明し、標準的なパワー図を用いた計算が可能となり、コストの高い平方根演算を回避できる。これは、距離計算における平方根操作を要するクラインモデルの限界を克服するものである。

ABSTRACT

We show that in the Klein projective ball model of hyperbolic space, the hyperbolic Voronoi diagram is affine and amounts to clip a corresponding power diagram, requiring however algebraic arithmetic. By considering the lesser-known Beltrami hemisphere model of hyperbolic geometry, we overcome the arithmetic limitations of Klein construction. Finally, we characterize the bisectors and geodesics in the other Poincar\' e upper half-space, the Poincaré ball, and the Lorentz hyperboloid models, and discusses on degenerate cases for which the dual hyperbolic Delaunay complex is not a triangulation.

研究の動機と目的

• 距離計算における平方根操作により非有理数演算を要するクライン球モデルの計算的限界を克服すること。
• 任意次元における双曲的ボロノイ図を、有理数演算のみを用いて計算する手法を開発すること。
• 固定行列式を持つ対称正定値行列と双曲的幾何（特に次元2）との間の関係を確立すること。
• 双曲的幾何の5つの標準的モデル（ポアンカレ、クライン、ベルトラミ、ローレンツ、上半平面）における二等分線および前測地線を特徴付けること。
• 双対デローランイ複体が三角形分割とならなくなる退化した状況を分析すること。

提案手法

• 双曲的空間を表現するためにベルトラミの半球モデルが用いられ、これにより(d+1)次元座標における有理数演算のみで双曲的ボロノイ図がアフィン図として計算可能となる。
• 本手法は、半球モデルにおける双曲的ボロノイ図が、周囲のユークリッド空間におけるクリッピング済みパワー図に等価であるという事実を利用している。
• ポアンカレ上半平面、ポアンカレ球、クライン球、ローレンツ双曲面、ベルトラミ半球の5つの標準的モデルについて、測地線および二等分線を解析的に導出する。
• モビウス変換および等長変換を用いて、異なるモデルを関連づけ、幾何計算を簡略化する。
• 固定行列式を持つ2×2対称正定値行列の空間は、双曲平面上に等長的であることが示され、双曲的距離はポアンカレ、クライン、またはローレンツモデルを用いて有理式で計算可能となる。
• クラインモデルとは異なり、半球モデルでは有理数パラメータ化を用いることで、平方根を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意次元における双曲的ボロノイ図を、コストの高い平方根演算を回避する有理数演算のみで計算可能か？
• RQ2 双曲的幾何の5つの標準的モデルにおける二等分線および測地線は、互いにどのように関係し、ボロノイ構造と結びつくか？
• RQ3 固定行列式を持つ対称正定値行列の空間と次元2における双曲的幾何との関係は何か？
• RQ4 双曲的空間において、双対デローランイ複体が三角形分割とならなくなる条件は何か？
• RQ5 クラインモデルにおけるボロノイ図を、非有理数演算を回避する形に再定式化可能か？

主な発見

• ベルトラミの半球モデルにおける双曲的ボロノイ図はアフィン的であり、(d+1)次元座標における有理数演算のみでクリッピング済みパワー図として計算可能である。
• 本手法は、距離計算における平方根操作を要するクラインモデルの算術的限界を克服し、非有理数演算を回避する。
• d次元双曲的空間における双曲的ボロノイ図の計算量はΘ(n^⌈d/2⌉)であり、ポアンカレ上半平面モデルにおける先行研究と整合的である。
• 固定行列式を持つ2×2対称正定値行列の空間は双曲平面上に等長的であり、双曲的距離はポアンカレ、クライン、またはローレンツモデルを用いて有理式で計算可能である。
• 点が高次元における共通のk次元平坦（k-flat）またはk次元球面上にある場合に、双対デローランイ複体が三角形分割とならなくなる退化した状況が存在する。
• 本稿では、ポアンカレ上半平面、ポアンカレ球、クライン球、ローレンツ双曲面、ベルトラミ半球の5つの標準的モデル、特に計算幾何学であまり用いられないベルトラミ半球モデルについて、測地線および二等分線の明示的公式を提供している。