[論文レビュー] The Hyperspherical Geometry of Community Detection: Modularity as a Distance

Martijn Gösgens, Remco van der Hofstad+1 more|TU/e Research Portal|Jul 6, 2021

Complex Network Analysis Techniques参考文献 25被引用数 6

ひとこと要約

本稿はコミュニティ検出のための超球幾何を導入し、モジュラリティの最大化を、超球上のモジュラリティベクトルへの角距離の最小化として定式化する。コミュニティ検出を二段階の射影法として再定式化する——ネットワークを超球上の点にマッピングし、その後クラスタリングベクトルに射影する——これにより、モジュラリティの幾何的解釈が可能となり、解像度制限が解消され、従来のアプローチを凌駕する新たなモジュラリティ非依存手法の開発が可能になる。

ABSTRACT

We introduce a metric space of clusterings, where clusterings are described by a binary vector indexed by the vertex-pairs. We extend this geometry to a hypersphere and prove that maximizing modularity is equivalent to minimizing the angular distance to some modularity vector over the set of clustering vectors. In that sense, modularity-based community detection methods can be seen as a subclass of a more general class of projection methods, which we define as the community detection methods that adhere to the following two-step procedure: first, mapping the network to a point on the hypersphere; second, projecting this point to the set of clustering vectors. We show that this class of projection methods contains many interesting community detection methods. Many of these new methods cannot be described in terms of null models and resolution parameters, as is customary for modularity-based methods. We provide a new characterization of such methods in terms of meridians and latitudes of the hypersphere. In addition, by relating the modularity resolution parameter to the latitude of the corresponding modularity vector, we obtain a new interpretation of the resolution limit that modularity maximization is known to suffer from.

研究の動機と目的

• クラスタリングの超球埋め込みを用いたコミュニティ検出手法の幾何的フレームワークの構築。
• モジュラリティ最大化を、超球上のモジュラリティベクトルへの角距離の最小化として再解釈すること。
• モジュラリティに基づく手法を、より広範な射影に基づくコミュニティ検出手法のクラスに一般化すること。
• モジュラリティ最適化における解像度制限の新しい幾何的説明を提供すること。
• nullモデルや解像度パラメータに依存しない、新たなコミュニティ検出手法の設計および評価。

提案手法

• 各クラスタリングを頂点ペアでインデックス付けされたバイナリーベクトルとして表現し、距離空間に埋め込む。
• クラスタリング空間を超球に拡張し、角距離の計算などの幾何的操作を可能にする。
• モジュラリティベクトルを超球上の点として定義し、その緯度が解像度パラメータを符号化する。
• モジュラリティ最大化を、ネットワークのクエリベクトルとモジュラリティベクトルの間の角距離の最小化として再定式化する。
• ネットワークを超球上の点にマッピングし、その後最も近いクラスタリングベクトルに射影する一般クラスの「射影法」を導入する。
• 相関距離（相関係数の逆余弦）を主な評価指標として使用し、幾何的不変性とバイアスのない評価を可能にする。

Figure 3 : Heatmap of the correlation between the ground truth and the candidate clusterings for the Karate network. We take query vectors from the meridians that $\left(\bm{q}_{M}^{\textrm{CM}}(G;\gamma)\right)_{\gamma\in[-1.5,2]}$ runs through and vary the query latitude between $\tfrac{1}{3}\pi$

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超球埋め込みを用いた幾何的視点から、コミュニティ検出をどのように再解釈できるか？
• RQ2 モジュラリティ最大化を、超球上のモジュラリティベクトルへの角距離の最小化として同等に定式化できるか？
• RQ3 nullモデルや解像度パラメータを越えたモジュラリティの一般化から、どのような新たなコミュニティ検出手法が生じるか？
• RQ4 幾何的フレームワークは、モジュラリティに基づく手法における解像度制限をどのように説明できるか？
• RQ5 モジュラリティに依存しない射影ベースの手法であっても、実世界のネットワークにおいて従来のアプローチを上回る性能を発揮できるか？

主な発見

• モジュラリティ最大化は、超球上のネットワークのクエリベクトルとモジュラリティベクトルの間の角距離の最小化と幾何的に同等である。
• モジュラリティにおける解像度制限は、超球上でのモジュラリティベクトルの緯度に関連する幾何的制約として再解釈される。
• 提案された射影法のクラスは、モジュラリティに基づく検出を一般化し、nullモデルや解像度パラメータで記述できない手法を含む。
• 重み付きベクトル w(G) を用いた新しい射影法は、Karate、Dolphins、Political Blogs などの実世界ネットワークにおいて、標準的なモジュラリティおよびLouvain法を上回る性能を発揮する。
• 相関距離（相関係数の逆余弦から導出）は、クラスタリングの細粒度に依存しない、頑健でバイアスのない評価指標として機能する。
• Louvainアルゴリズムは、超球上の近似最近傍射影として解釈され、これにより高度な近似最近傍アルゴリズムを用いた改善が可能であると示唆される。

Figure 4 : Heatmap of the correlation between the ground truth and the candidate clusterings for the Football network. We take query vectors from the meridians that $\left(\bm{q}_{M}^{\textrm{CM}}(G;\gamma)\right)_{\gamma\in[-1,14]}$ runs through. The horizontal coordinates are given by $\textrm{sgn