[論文レビュー] The Hypervolume Indicator: Problems and Algorithms

Andreia P. Guerreiro, Carlos M. Fonseca+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2020

Advanced Multi-Objective Optimization Algorithms参考文献 78被引用数 37

ひとこと要約

本調査は、ハイパーボリューム関連の計算問題、その関係性、および多目的最適化における固定次元での実装つき最速アルゴリズムをレビューする。

ABSTRACT

The hypervolume indicator is one of the most used set-quality indicators for the assessment of stochastic multiobjective optimizers, as well as for selection in evolutionary multiobjective optimization algorithms. Its theoretical properties justify its wide acceptance, particularly the strict monotonicity with respect to set dominance which is still unique of hypervolume-based indicators. This paper discusses the computation of hypervolume-related problems, highlighting the relations between them, providing an overview of the paradigms and techniques used, a description of the main algorithms for each problem, and a rundown of the fastest algorithms regarding asymptotic complexity and runtime. By providing a complete overview of the computational problems associated to the hypervolume indicator, this paper serves as the starting point for the development of new algorithms, and supports users in the identification of the most appropriate implementations available for each problem.

研究の動機と目的

• ハイパーボリューム関連の計算問題とそれらの相互関係の広範な概観を提示する。
• 各問題の主要アルゴリズムを要約し、漸近的および実行時間性能を比較する。
• 利用可能な最速の実装を特定し、適切な手法の選択に関する指針を提供する。
• 問題の構造がアルゴリズム設計に与える影響を強調し、数値安定性について論じる。
• ハイパーボリュームベースの最適化におけるベンチマーキングとアルゴリズム開発のベストプラクティスを促進する。

提案手法

• ハイパーボリュームと関連量（ハイパーボリューム、寄与、結合寄与）を定義し、一連の問題（Problems 1–10）を形式化する。
• 問題間の関係性と、既存アルゴリズムを活用するための問題間の還元を説明する。
• ハイパーボリューム問題を解くために用いられる最先端のパラダイムと手法（例：包含排除、次元スイープ）を概説する。
• 各問題の最速アルゴリズムの要約を提供し、漸近的および実用的な実行時間性能に焦点を当てる。
• サブモジュラ性とグリーディ法に基づくHSSPの近似保証について論じる。
• 利用可能な実装と数値安定性に関する実務上の考慮事項を提供する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元をまたぐハイパーボリュームベースの問題（例：Hypervolume、AllContributions、HSSP）の正確な定義と関係は何か？
• RQ2 各ハイパーボリューム関連問題に対して既知の最速なアルゴリズム（厳密解および近似）は何か、実際にはどのように比較されるか？
• RQ3 ハイパーボリューム問題を互いに還元して、効率的な解法を活用するにはどうすればよいか？
• RQ4 HSSPの近似保証を可能にする理論的特性（例：単調性、サブモジュラ性）は何か？
• RQ5 ハイパーボリューム計算における実装と数値安定性について、実務者に提供できる指針は何か？

主な発見

• ハイパーボリュームは、強い単調性とスケーリング不変性を持つ広く用いられる集合品質指標である。
• ハイパーボリューム問題間には密接な計算的連関があり、還元によって複数の問題を解くことが可能である。
• 多くの問題は一般には #P-hard あるいは NP-hard だが、固定次元設定では効率的なアルゴリズムが可能となる。
• HSSP はサブモジュラ性の恩恵を受け、グリーディ法に対して (1−1/e) の近似保証を可能とする。
• 漸近的および実用的性能が異なる一連のアルゴリズムが存在し、本論文は最速の利用可能なオプションと実装について指針を提供する。