[論文レビュー] The image of a tropical linear space

Joshua Mundinger|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2018

Polynomial and algebraic computation参考文献 13被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、線形写像の下でのトロピカル線形空間の集合論的像を含む新しいトロピカル線形空間、すなわちトロピカル画像を導入する。トロピカル変形とマトロイド構造を用いてトロピカル画像を構成することで、著者たちはスタイーベルのトロピカル線形空間を一般化し、互いに基数が不一致なペアですらも含めたすべてのトロピカル線形空間の間で安定和を定義する。これにより、従来制限されていた構成の代数的枠組みを提供する。

ABSTRACT

Given a tropical linear space $L \subseteq \mathbb{T}^n$ and a matrix $A \in \mathbb{T}^{m imes n}$, the image $AL$ of $L$ under $A$ is typically not a tropical linear space. We introduce a tropical linear space $\mathrm{tropim}_A(L)$, the tropical image, containing $AL$. We show under mild hypotheses that $\mathrm{tropim}_A(L)$ is realizable if $L$ is and apply the tropical image to construct the stable sum of two tropical linear spaces without a disjoint pair of bases.

研究の動機と目的

• 線形写像の下でのトロピカル線形空間の像が通常はトロピカル多様体でないという問題に対処すること。
• 集合論的像を含み、マトロイド的および代数的構造を保つ、トロピカル線形空間（トロピカル画像と呼ぶ）を構成すること。
• 基数が不一致なペアに限らない、トロピカル線形空間の安定和の定義を拡張すること。
• トロピカル・プレッカー座標と小行列を用いて、トロピカル線形写像の代数的かつマトロイド論的取り扱いを提供すること。
• スタイーベル空間や安定和といった既存の構成を、単一の枠組みで統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 行列 $A$ と $L$ の座標から導かれる小行列を用いたトロピカル・プレッカー座標を用いて、$L$ に対する行列 $A$ の像によって生成されるトロピカル線形空間 $\mathrm{tropim}_A(L)$ を定義する。
• 線形写像のトロピカル的グラフを用いてトロピカル画像を構成し、これが繰り返しのトロピカル変形と一致することを示す。
• $A$ の基本的双対グラフを用いて、$L$ のマトロイド構造からトロピカル画像のマトロイド構造を誘導し、マトロイド和理論と整合性を保つ。
• $L$ が体上で実現可能であれば、$\mathrm{tropim}_A(L)$ も実現可能であり、それが対応する古典的線形空間の像のトロピカル化に一致することを示すことにより、実現可能性を証明する。
• $A_+ = [I\; I]$ という加法写像にトロピカル画像構成を適用し、$\mathrm{tropim}_{A_+}(L_w \oplus L_z)$ が $w \wedge z = 0$ の場合でさえも安定和 $L_w +_{st} L_z$ を与えることを示す。
• 安定和と安定交差の双対性を活用し、一般の $\gamma$ に対して $\mathrm{trop}(\Lambda_1) \cap_{st} \mathrm{trop}(\Lambda_2) = \mathrm{trop}(\Lambda_1 \cap \gamma \Lambda_2)$ が成り立つことを、トロピカル画像枠組みを用いて示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形写像の下でのトロピカル線形空間の像が、集合論的像がトロピカル多様体でない場合でも、トロピカル多様体に拡張可能か？
• RQ2 基数が不一致なペアを持つ2つのトロピカル線形空間の安定和をどのように定義できるか？
• RQ3 線形写像の下でのトロピカル線形空間の像であるトロピカル画像の代数的およびマトロイド的構造は何か？
• RQ4 トロピカル画像構成は、古典的トロピカル化および価値体上の実現可能性とどのように関係するか？
• RQ5 トロピカル画像枠組みは、スタイーベルのトロピカル線形空間や安定和といった既存の構成を統一的かつ一般化できるか？

主な発見

• トロピカル画像 $\mathrm{tropim}_A(L)$ は集合論的像 $AL$ を含み、やや弱い仮定のもとでトロピカル線形空間である。
• $\mathrm{tropim}_A(L)$ のランクは $L$ のランク以下であり、その下位マトロイドは $A$ の双対グラフから誘導される。
• $A$ に非ゼロの最大小行列が存在する場合、$\mathrm{tropim}_A(S^E)$ は $A^T$ に付随するスタイーベルのトロピカル線形空間に一致し、この構成をすべての行列に一般化する。
• $L = \mathrm{trop}(\Lambda)$ が十分に大きな体上で実現可能であれば、$\mathrm{tropim}_A(L)$ も実現可能であり、$\Lambda$ に対する $A$ の像のトロピカル化に一致する。
• 安定和 $L_w +_{st} L_z$ は $A_+ = [I\; I]$ に対して $\mathrm{tropim}_{A_+}(L_w \oplus L_z)$ として定義され、$w \wedge z = 0$ の場合でも成立する。これにより、すべてのトロピカル線形空間のペアに安定和を拡張できる。
• 体 $\kappa\{t^S\}^E$ の交差する部分空間 $\Lambda_1, \Lambda_2$ に対して、一般の $\gamma$ に対して $\mathrm{trop}(\Lambda_1) \cap_{st} \mathrm{trop}(\Lambda_2) = \mathrm{trop}(\Lambda_1 \cap \gamma \Lambda_2)$ が成り立つ。これは既知の結果の代数的証明を提供する。