[論文レビュー] The $\imath ε$ prescription in the SYK model

Razvan Gurău|arXiv (Cornell University)|May 24, 2017

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、有限温度およびゼロ温度におけるサハド・イェ・キタエフ（SYK）模型における紫外発散を正則化するきめ細やかな$\epsilon$規定を導入し、$\epsilon \to 0$極限で共形不変性を回復する。この極限において、大$N$における赤方宇宙の2点関数のシュヴィンガー＝ダイソン方程式が回復されることを証明し、低エネルギーSYK模型の有効場理論の数学的に整合性のある基盤を提供する。

ABSTRACT

We introduce an $\imath ε$ prescription for the SYK model both at finite and at zero temperature. This prescription regularizes all the naive ultraviolet divergences of the model. As expected the prescription breaks the conformal invariance, but the latter is restored in the $ε o 0$ limit. We prove rigorously that the Schwinger Dyson equation of the resummed two point function at large $N$ and low momentum is recovered in this limit. Based on this $\imath ε$ prescription we introduce an effective field theory Lagrangian for the infrared SYK model.

研究の動機と目的

• 共形極限において生じるSYK模型の紫外発散を、特に相関関数の計算においてきめ細やかに正則化すること。
• 有限温度およびゼロ温度における2点関数のシュヴィンガー＝ダイソン方程式における発散積分を正則化する明確な$\epsilon$規定を確立すること。
• $\epsilon \to 0$極限において、赤方宇宙の2点関数の大$N$シュヴィンガー＝ダイソン方程式が回復されることを証明し、共形不変性を回復すること。
• 正則化された2点関数と回復されたシュヴィンガー＝ダイソン方程式に基づいて、赤方宇宙SYK模型の整合的な有効場理論ラグランジアンを構築すること。

提案手法

• 運動量空間における統合経路を変形する$\epsilon$規定を導入し、SYK模型の共形極限で生じる発散積分を正則化する。
• $\epsilon$規定を2点関数のシュヴィンガー＝ダイソン方程式に適用し、$\Delta = 1/q$で自明に発散する積分の収束を保証する。
• 解析接続と経路変形技術を用いて、積分表現における発散するオイラーのベータ関数を評価し、自己エネルギー寄与の厳密な評価を可能にする。
• 式(12)の積分に対して、経路変形およびガンマ関数の性質を用いて上限を導出し、$\Delta \leq 1/2$に対して一様収束を証明する。
• 正則化されたカーネルを用いた運動量空間における2点関数の表現を確立し、赤方宇宙極限の導出を可能にする。
• 正則化された2点関数と回復されたシュヴィンガー＝ダイソン方程式に基づいて、赤方宇宙SYK模型の有効場理論ラグランジアンを構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SYK模型の共形極限における紫外発散をどのようにきめ細やかに正則化できるか？
• RQ2 $\epsilon$規定が$\epsilon \to 0$極限で共形不変性を回復させるか。もし回復するならば、シュヴィンガー＝ダイソン方程式にはどのように現れるか？
• RQ3 $\epsilon$規定を用いて、赤方宇宙の2点関数の大$N$シュヴィンガー＝ダイソン方程式を回復できるか？
• RQ4 運動量空間における正則化された2点関数の数学的構造は何か。収束を保証するのはどのようにしてか？
• RQ5 正則化された赤方宇宙SYK模型から、整合的な有効場理論ラグランジアンをどのように導出できるか？

主な発見

• $\epsilon$規定は、有限温度およびゼロ温度におけるSYK模型のすべての自明な紫外発散を効果的に正則化する。
• 規定は有限$\epsilon$では共形不変性を破るが、$\epsilon \to 0$極限できめ細やかに共形不変性が回復される。
• $\epsilon \to 0$極限において、赤方宇宙の2点関数の大$N$シュヴィンガー＝ダイソン方程式が回復され、共形アンザッツの妥当性が確認される。
• 式(12)の積分に対して、経路変形およびガンマ関数の恒等式を用いて上限を確立し、$\Delta \leq 1/2$に対して収束を証明する。
• 積分表現における発散するオイラーのベータ関数は、解析接続を用いて取り扱われ、自己エネルギー寄与の一貫した評価が可能になる。
• 正則化された2点関数と回復されたシュヴィンガー＝ダイソン方程式に基づいて、赤方宇宙SYK模型の有効場理論ラグランジアンが構築される。