[論文レビュー] The Impact of Mutation Rate on the Computation Time of Evolutionary Dynamic Optimization

Tianshi Chen, Yunji Chen+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 3, 2011

Metaheuristic Optimization Algorithms Research参考文献 45被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、動的最適化問題における変化する変異率スキームの最初の厳密な理論的分析を提供する。その結果、特定の動的問題では、このような適応的変異率が固定された変異率を著しく上回らないことが示され、特定の条件下ではその有用性に根本的な限界が存在することが明らかになった。

ABSTRACT

Mutation has traditionally been regarded as an important operator in evolutionary algorithms. In particular, there have been many experimental studies which showed the effectiveness of adapting mutation rates for various static optimization problems. Given the perceived effectiveness of adaptive and self-adaptive mutation for static optimization problems, there have been speculations that adaptive and self-adaptive mutation can benefit dynamic optimization problems even more since adaptation and self-adaptation are capable of following a dynamic environment. However, few theoretical results are available in analyzing rigorously evolutionary algorithms for dynamic optimization problems. It is unclear when adaptive and self-adaptive mutation rates are likely to be useful for evolutionary algorithms in solving dynamic optimization problems. This paper provides the first rigorous analysis of adaptive mutation and its impact on the computation times of evolutionary algorithms in solving certain dynamic optimization problems. More specifically, for both individual-based and population-based EAs, we have shown that any time-variable mutation rate scheme will not significantly outperform a fixed mutation rate on some dynamic optimization problem instances. The proofs also offer some insights into conditions under which any time-variable mutation scheme is unlikely to be useful and into the relationships between the problem characteristics and algorithmic features (e.g., different mutation schemes).

研究の動機と目的

• 動的最適化問題における進化的アルゴリズムにおける時間的に変化する変異率スキームの計算時間への影響を厳密に分析すること。
• 動的環境において、適応的変異率が固定された変異率に対して顕著な利点を示さない条件を特定すること。
• 動的最適化問題（DOP）インスタンスにおいて、変化する変異戦略を用いた $(1+1)$ EA および $(1+\lambda)$ EA の性能に対する理論的限界を確立すること。
• 問題の特性（例：シフト速度、構造）と変異率適応といったアルゴリズム的特徴の間の関係を調査すること。
• 適応的変異が動的最適化において普遍的に有益であるという一般的な仮定に疑問を呈し、特定のDOPクラスにおいてその限界を証明すること。

提案手法

• 時間的に変化する変異率スキームを用いた $(1+1)$ EA および $(1+\lambda)$ EA を、動的最適化問題（DOP）のクラス、特に BitMatching D に対して分析する。
• 時間変動するフィットネス関数を伴う理論的DOPモデルを用い、状態 $\mathbb{A}_1$、$\mathbb{A}_2$、および $\mathbb{F}_2$ を含むフィットネスランドスケープを定義する。
• 期待生成数の推定に確率的解析とチェルノフ限界を適用し、特に最初の到達時間に注目する。
• 遷移補題と集中不等式を用いて、一致ビット数が増加または減少するステップ数の上限を求める。
• 漸近的解析と超多項式確率境界を用いて、到達時間 $\tau_{\mathbb{F}_2}$ の下限を導出する。
• 時間的に変化する変異率のもとでも、非常に高い確率でアルゴリズムが多項式時間内に $\mathbb{F}_2$ に到達できないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間的に変化する変異率が、動的最適化において計算時間を改善しない条件は何か？
• RQ2 シフトパターンが事前に分かっている動的最適化問題において、適応的変異率が固定された変異率を上回れるか？
• RQ3 問題のシフト速度と適応的変異戦略の有効性の関係は何か？
• RQ4 時間的に変化する変異率を用いた場合、集団ベースのEAs（$1+\lambda$）と個体ベースのEAs（$1+1$）の性能はどのように比較できるか？
• RQ5 変異率の適応は動的環境において普遍的に有益な戦略であるか、それとも根本的な限界があるか？

主な発見

• BitMatching D 問題において、時間的に変化するいかなる変異率スキームも、固定された変異率に対して計算時間の面で顕著な優位性を示さない。
• 目標状態 $\mathbb{F}_2$ に到達する期待最初到達時間は、非常に高い確率で超多項式的である。
• 分析により、$\mathbb{P}(\tau_{\mathbb{F}_2} \prec \text{Poly}(n)) \prec \frac{1}{\text{SuperPoly}(n))}$ が成り立つことが示され、多項式時間での収束はほとんど不可能であることが示された。
• 状態 $\mathbb{A}_1$ を通過するための生成数 $T$ は、非常に高い確率で $\gamma^{3/7}\log n$ で下限づけられる。
• 進行のためには $T^+ > d \cdot \frac{T}{\gamma^{1/7}}$ が必須であるが、これは非常に高い確率で満たされないため、アルゴリズムの進展が制限される。
• 理論的結果により、適応的変異が万能ではなく、問題のシフトダイナミクスが複雑である場合、または確率的ゆらぎによって進行が制限される場合には失敗することが示された。