[論文レビュー] The Implicit Function Theorem for continuous functions

Carlos Biasi, Carlos Gutiérrez+1 more|ArXiv.org|Jun 26, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、局所的次数と開性を用いた条件下で、連続写像に対するホモロジー的バージョンの陰関数定理を確立し、$C^1$正則性を要しない微分可能写像に対しても、連続的な局所的陰関数の存在を証明する。古典的結果を微分可能写像へ拡張し、次数論を用いたダーボウ定理の新しいホモロジー的バージョンを提供する。

ABSTRACT

In the present paper we obtain a new homological version of the implicit function theorem and some versions of the Darboux theorem. Such results are proved for continuous maps on topological manifolds. As a consequence, some versions of these classic theorems are proved when we consider differenciable (not necessarily C^1) maps.

研究の動機と目的

• ホモロジー的メソッドを用いて、連続写像の古典的陰関数定理を位相的多様体へ一般化すること。
• 写像が $C^1$ でない場合でも、連続的陰関数が局所的に存在するための条件を確立すること。
• 次数論的議論を用いて、連続的または微分可能な写像に対するダーボウ定理を一般化すること。
• 連続的右辺を持つ微分方程式の解の存在の十分条件を提供すること。
• 局所的次数と開性の性質を用いて、古典的結果を統一的かつ一般化すること。

提案手法

• 整数係数の特異ホモロジーを用いて、写像の点における局所的次数を定義すること。
• 相対ホモロジー群 $H_n(X,X\setminus\{x_0\}) \to H_n(Y,Y\setminus\{y_0\})$ に誘導される準同型を用いて、局所的次数 $\deg(f,x_0)$ を定義すること。
• 補題 3.1 の適用：向き付けられた多様体間の連続写像が、符号が逆の局所的次数を持つ点をもつならば、ゼロの局所的次数を持つ点が存在する。
• $f_x: Y \to Z$ が各 $x$ に対して開かつ離散的であると仮定し、局所的次数が適切に定義されることを保証すること。
• 局所的可解性 $f(x,g(x)) = z_0$ を保証するため、次数条件 $|\deg(f_{x_0}, y_0)| = 1$ を用いること。
• ペアノの定理を応用し、連続的陰関数から微分方程式の解を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続写像 $f: X \times Y \to Z$ が、$f(x,g(x)) = z_0$ を満たす連続的局所的陰関数 $g: V \to Y$ を持つための条件は何か？
• RQ2 $C^1$ 正則性を要しない連続写像の位相的多様体上への古典的陰関数定理を拡張できるか？
• RQ3 連続的または微分可能な写像に対して、次数論を用いてダーボウ定理をどのように一般化できるか？
• RQ4 局所的次数は、連続的非線形項を持つ微分方程式の解の存在を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 臨界点を持たない微分可能写像が、常に一定の符号の局所的次数を持つのはどのような場合か？

主な発見

• 定理 4.1 は、$f_{x_0}$ が局所的次数 $\pm 1$ であり、かつ開かつ離散的である場合に、連続的局所的陰関数 $g: V \to Y$ の存在を確立する。
• 系 4.2 は、$C^1$ でないが臨界点を持たない微分可能写像 $f: X \times U \to \mathbb{R}^n$ に対し、連続的陰関数の存在を証明する。
• 系 4.3 は、連続的 $F$ および $y$ に関して臨界点を持たない微分方程式 $F(t,x,x')=0$ が、連続的陰関数を用いて局所的に解をもつことを示す。
• 定理 5.1 は、ホモロジー的ダーボウ定理のバージョンを提供する：連続的写像が負および正の局所的次数を持つ点をもつならば、ゼロの局所的次数を持つ点が存在する。
• 系 5.2 は、$\det[f'(x_0)] < 0$ および $\det[f'(x_1)] > 0$ を満たす微分可能写像 $f: M \to N$ は、臨界点をもつ必要があることを証明する。
• 系 5.5 は、微分可能写像 $f: U \to \mathbb{R}^n$ において、ある $\alpha$ で符号が同じである二点で特徴方程式の奇数および偶数重解をもつならば、$\lambda$ が $\alpha$ の近くに $x_2$ で固有値となることを確立する。