[論文レビュー] The improper infinite derivatives of Takagi's nowhere-differentiable function

Pieter C. Allaart, Kiko Kawamura|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2010

Advanced Topology and Set Theory参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Takagiの非微分可能関数の点における不適切な無限一様微分係数（左または右）が、その点の2進展開を用いて完全に特徴付けられる。Rademacher級数表現を活用し、以前の誤った基準を洗練させることで、2進数の桁の位置の成長率に関連する明確な条件を確立し、正または負の無限微分係数を持つ点の集合がそれぞれHausdorff次元1を有することを示している。

ABSTRACT

Let T be Takagi's continuous but nowhere-differentiable function. Using a representation in terms of Rademacher series due to N. Kono, we give a complete characterization of those points where T has a left-sided, right-sided, or two-sided infinite derivative. This characterization is illustrated by several examples. A consequence of the main result is that the sets of points where T'(x) is infinite have Hausdorff dimension one. As a byproduct of the method of proof, some exact results concerning the modulus of continuity of T are also obtained.

研究の動機と目的

• BegleとAyresが誤って、2進数の桁の不均衡の発散が無限微分係数を意味すると主張したのを是正・洗練すること。
• 左および右の微分係数の挙動における非対称性を解消し、特に左微分係数の条件が右微分係数の条件と対称でないことを明らかにすること。
• 関数が片側または両側の不適切な無限微分係数を持つ[0,1]内すべての点を完全かつ厳密に特徴付けること。
• 同じ解析的枠組みを用いて、Takagi関数の連続性指数に関する最近の結果を拡張すること。
• 正または負の無限微分係数を持つ点の集合がそれぞれHausdorff次元1を有することを確立し、幾何的測度論的結果としての重要性を示すこと。

提案手法

• KonoによるTakagi関数のRademacher級数表現を用い、T(x)をRademacher関数を含む無限級数として表現する。
• 差分商の挙動を解析する際、和を3つの部分に分割する：主要項（Σ₁）、中間項（Σ₂）、余り（Σ₃）、それぞれを推定で制御する。
• xの2進展開における1の位置と0の位置をそれぞれ{aₙ}と{bₙ}として定義し、微分係数の条件を表現する。
• 特にaₙ₊₁ − 2aₙ + 2n − log₂(aₙ₊₁ − aₙ) → −∞のような式を含む、漸近的解析を用いて、無限一様微分係数の必要十分条件を導出する。
• 密度正則性の概念を適用し、d₁(x)の存在およびbₙ₊₁/bₙやaₙ₊₁/aₙの成長条件を用いて、対数的連続性指数の極限の存在を特徴付ける。
• T(1−x) = T(x)を用いた対称性の議論により、左および右の微分係数の挙動を関連付け、両側への結果の拡張を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Takagi関数が右側無限微分係数を持つための、xの2進展開における正確な必要十分条件は何か？
• RQ2 BegleとAyresの以前の主張がなぜ誤りであったのか、そして不適切な無限微分係数の存在を保証するにはどのようなより強い条件が必要なのか？
• RQ3 左微分係数と右微分係数の条件はどのように異なり、その非対称性の原因は何か？
• RQ4 T'(x) = ±∞となる点の集合のHausdorff次元は何か？ そしてそれはどのように確立されるか？
• RQ5 lim_{h→0} (T(x+h)−T(x))/(h log₂(1/|h|)) の極限が存在する条件は何か？ また、その値は何か？

主な発見

• 右微分係数T′₊(x) = +∞ となるのは、xの2進展開における1の位置{aₙ}についてaₙ − 2n → ∞ である場合に限る。
• 左微分係数T′₋(x) = +∞ となるのは、aₙ₊₁ − 2aₙ + 2n − log₂(aₙ₊₁ − aₙ) → −∞ である場合に限る。
• 右微分係数T′₊(x) = −∞ となるのは、xの2進展開における0の位置{bₙ}についてbₙ₊₁ − 2bₙ + 2n − log₂(bₙ₊₁ − bₙ) → −∞ である場合に限る。
• 左微分係数T′₋(x) = −∞ となるのは、bₙ − 2n → ∞ である場合に限る。
• T′(x) = +∞ および T′(x) = −∞ となる点の集合は、それぞれHausdorff次元1を有する。
• lim_{h→0} (T(x+h)−T(x))/(h log₂(1/|h|)) の極限が存在するのは、xが密度正則である場合に限り、そのとき極限値はd₀(x) − d₁(x)に等しい。ここでd₀とd₁は、2進展開における0と1の自然密度を表す。