[論文レビュー] The incompressible limit in $L^p$ type critical spaces

Raphaël Danchin, Ling-Bing He|arXiv (Cornell University)|Sep 25, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$L^p$-型臨界Besov空間における圧縮性Navier-Stokes方程式の低マッハ数極限を確立し、最小限の正則性仮定のもとで非圧縮性Navier-Stokes方程式への収束を証明する。従来の$L^2$-ベースのエネルギー法を臨界正則性枠組みに拡張し、$p \in [2,4]$および$r \in [1,\infty]$の下で、初期速度の発散なし成分が$\dot{B}^{d/p-1}_{p,r} \cap \dot{B}^{-1}_{\infty,1}$に属するだけで十分であることを示す。低周波数成分の$L^2$-型バインディングが避けられないのは、音響波の影響によるものである。

ABSTRACT

This paper aims at justifying the low Mach number convergence to the incompressible Navier-Stokes equations for viscous compressible flows in the ill-prepared data case. The fluid domain is either the whole space, or the torus. A number of works have been dedicated to this classical issue, all of them being, to our knowledge, related to $L^2$ spaces and to energy type arguments. In the present paper, we investigate the low Mach number convergence in the $L^p$ type critical regularity framework. More precisely, in the barotropic case, the divergence-free part of the initial velocity field just has to be bounded in the critical Besov space $\dot B^{d/p-1}_{p,r}\cap\dot B^{-1}_{\infty,1}$ for some suitable $(p,r)\in[2,4] imes[1,+\infty].$ We still require $L^2$ type bounds on the low frequencies of the potential part of the velocity and on the density, though, an assumption which seems to be unavoidable in the ill-prepared data framework, because of acoustic waves. In the last part of the paper, our results are extended to the full Navier-Stokes system for heat conducting fluids.

研究の動機と目的

• 圧縮性流れの低マッハ数極限を、不適切な初期データの設定において$L^p$-型臨界正則性空間を用いて正当化すること。
• 従来の$L^2$-ベースのエネルギー法を、特に$\dot{B}^{d/p-1}_{p,r}$および$\dot{B}^{-1}_{\infty,1}$といった臨界Besov空間へと拡張すること。
• 非圧縮性Navier-Stokes方程式への収束を保証する最小限の正則性仮定を同定し、密度およびポテンシャル速度成分の低周波数成分における$L^2$-型バインディングを通じて音響波の影響を考慮すること。
• 同じ臨界枠組みにおいて、熱伝導を伴う流体の完全なNavier-Stokes系へと結果を一般化すること。

提案手法

• 解の周波数局所化成分を分析するため、均一なLittlewood-Paley分解$(\dot{\Delta}_j)_{j \in \mathbb{Z}}$を用いて臨界Besov空間$\dot{B}^{s}_{p,r}$を定義する。
• 圧縮性Navier-Stokes系における非線形項を扱うために、Bonyの分解$uv = T_u v + R(u,v) + T_v u$を適用する。
• 積分型および交換子推定式を用い、特に$\| [\dot{S}_{j_0}A(D), T_a]b \|_{\dot{B}^{\sigma+s}_{p,1}} \lesssim \| \nabla a \|_{\dot{B}^{s-1}_{p_1,1}} \| b \|_{\dot{B}^{\sigma}_{p_2,\infty}}$を用いて非線形相互作用を制御する。
• 収束速度を追跡するために、$\| \delta \Theta^\varepsilon \|_{L^\infty(\dot{B}^{(d+1)/p-3/2}_{p,1} + \dot{B}^{d/p-2}_{p,1})}$および$L^2$-型ノルムを含む修正されたエネルギー関数を導入する。
• 臨界枠組みのスケーリング不変性：$(a,u) \mapsto (a, \ell u)(\ell^2 t, \ell x)$を用いて、関数空間の選択を導く。
• 滑らかな関数$G$（$G(0) = 0$を満たす）に対する合成推定式、例えば$\| G(a) \|_{\dot{B}^s_{p,1}} \lesssim \| a \|_{\dot{B}^s_{p,1}}$を用いて、非線形圧力および粘性項を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L^2$-ベースのエネルギー空間ではなく、$L^p$-型臨界空間において、低マッハ数極限を正当化できるか？
• RQ2 不適切な初期データの場合に、収束を保証するための初期速度の発散なし成分に必要な最小正則性は何か？
• RQ3 音響波の影響は、特に低周波数成分に関して、正則性仮定にどのように影響を与えるか？
• RQ4 臨界枠組みを熱伝導を伴う完全なNavier-Stokes系へと拡張できるか？
• RQ5 交換子および積分型推定式は、臨界正則性設定における非線形項の制御にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 初期速度の発散なし成分が、$p \in [2,4]$および$r \in [1,\infty]$の下で$\dot{B}^{d/p-1}_{p,r} \cap \dot{B}^{-1}_{\infty,1}$に有界であれば十分であり、これは鋭い臨界正則性条件である。
• 不適切な初期データ設定における持続的な音響波の影響により、ポテンシャル速度および密度成分の低周波数成分に対する$L^2$-型バインディングが依然として不可避である。
• 収束は、$\delta X^\varepsilon$-型ノルム（$\dot{B}^{(d+1)/p-3/2}_{p,1}$および$\dot{B}^{d/p-2}_{p,1}$正則性を含む）を用いて制御される$L^p$-型臨界枠組みにおいて非圧縮性Navier-Stokes方程式に確立される。
• 結果は、熱伝導を伴う流体の完全なNavier-Stokes系へと拡張され、同じ臨界正則性仮定が維持される。
• 証明は、Besov空間における$L^\infty$および$L^2$-型ノルムを組み合わせた精密なエネルギー推定に依存し、積分型および交換子推定式による非線形項のきめ細やかな制御が行われる。
• 枠組みは、スケーリング$(a,u) \mapsto (a, \ell u)(\ell^2 t, \ell x)$に関して不変であり、極限系のスケーリングと一貫性を持つ。