[論文レビュー] The incompressible navier-stokes equations in vacuum

Raphaël Danchin, Piotr B. Mucha|arXiv (Cornell University)|May 17, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、密度に正の下界や適合条件を要しない $H^1$ 初期速度と有界非負初期密度をもつ真空中における非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の解の全球的かつ一意的存在を確立する。主な貢献は、一般のデータに対して2次元で、初期速度にスケーリング不変な小さな条件を課した3次元で、一意的全球解の存在を示したことであり、真空中における粘性流体の滴の時間発展に関する長年の未解決問題を解消する。

ABSTRACT

We are concerned with the existence and uniqueness issue for the inhomogeneous incompressible Navier-Stokes equations supplemented with H^1 initial velocity and only bounded nonnegative density. In contrast with all the previous works on that topics, we do not require regularity or positive lower bound for the initial density, or compatibility conditions for the initial velocity, and still obtain unique solutions. Those solutions are global in the two-dimensional case for general data, and in the three-dimensional case if the velocity satisfies a suitable scaling invariant smallness condition. As a straightforward application, we provide a complete answer to Lions' question in [25], page 34, concerning the evolution of a drop of incompressible viscous fluid in the vacuum.

研究の動機と目的

• 真空中に存在する粘性非圧縮性流体の滴が、初期密度に正の下界や適合条件を要しない状況でも一意的に時間発展するかどうかという長年の未解決問題に取り組む。
• 正の密度や滑らかな初期データという古典的仮定を超えて、非一様非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の存在・一意性理論を拡張する。
• リオンズの質問（2006年、p.34）である「真空中における非圧縮性粘性流体の滴の時間発展」について、完全な回答を提供する。
• 初期速度が $H^1$ で、有界非負密度である場合に、臨界正則性空間における適切性（well-posedness）を確立する。密度が不連続またはゼロに達することもあり得るが、依然として成立する。

提案手法

• 初期密度 $\rho_0 \in L^\infty$、$\rho_0 \geq 0$ および初期速度 $v_0 \in H^1_0(\Omega)$ をもつ非一様非圧縮性ナビエ＝ストークス系を定式化し、$\rho_0$ に下界を要しない。
• 時間に関する $L^4(0,T;L^2)$、$L^2(0,T;H^1_0)$、$L^{4/3}(0,T;L^{3/2})$ を含む、注意深く選ばれた関数空間 $X_T$ における固定点法を用いる。
• 時間依存係数をもつストークス作用素に対する最大正則性推定を適用し、特異積分の理論と発散作用素の $L^p$-有界性を活用する。
• 時間依存行列 $A(t,x)$ を用いて解作用素を構成し、空間 $X_T$ におけるバナッハの固定点定理を用いて存在性と一意性を証明する。
• 最小限の仮定のもとでエネルギー推定と保存則（質量、運動量、エネルギー）を確立し、連続の方程式に対して正則化技術を用いる。
• 密度および速度の正則性が不足する状況に対処するため、[7] および [25] の正則化解と最大正則性に関する結果を適応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 初期密度が有界かつ非負であるが正の下界がない場合、真空中における非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の解が全球的かつ一意的に存在する可能性はあるか？
• RQ2 初期速度と密度の間に適合条件を要しないで、解の存在性と一意性を証明することは可能か？
• RQ3 3次元において、初期速度に古典的な小さな条件が適用される場合、密度がゼロに近づく場合でも、依然として全球的解が保証されるか？
• RQ4 初期データに最小限の正則性仮定をおく場合、真空中における粘性流体の滴の時間発展は一意的に記述可能か？
• RQ5 非一様非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の適切性を保証するための、初期速度および密度に必要な最小正則性は何か？

主な発見

• 2次元では、任意の初期データ $v_0 \in H^1_0(\Omega)$、$\rho_0 \in L^\infty(\Omega)$、$\rho_0 \geq 0$ に対して、$\inf \rho_0 > 0$ を要しない全球的かつ一意的解が存在する。
• 3次元では、初期速度がスケーリング不変な小さな条件 $\mu^{-2}\|v_0\|_{L^2}\|\nabla v_0\|_{L^2} \ll 1$ を満たす場合、$\rho_0$ が有界かつ非負であっても、一意的全球解が存在する。
• 解は全質量とエネルギーバランスを保存し、$\|\sqrt{\rho(t)}v(t)\|_{L^2}^2 + 2\mu\int_0^T \|\nabla v\|_{L^2}^2 \, dt \leq \|\sqrt{\rho_0}v_0\|_{L^2}^2$ が成り立つ。
• 密度は有界のままであり、$L^\infty$ ノルムが保存される：$\operatorname{ess\,inf}_x \rho(t,x) = \operatorname{ess\,inf}_x \rho_0(x)$ および $\operatorname{ess\,sup}_x \rho(t,x) = \operatorname{ess\,sup}_x \rho_0(x)$。
• スモールネス条件のもとで、空間 $X_T = L^2(0,T;H^1_0) \cap L^4(0,T;L^2)$ において時間微分が $L^{4/3}(0,T;L^{3/2})$ に属する解は一意的である。
• 本稿は、リオンズの質問（2006年、p.34）である真空中における粘性流体の滴の時間発展について、最小限の仮定のもとで完全な回答を提供し、一意的全球存在を確認する。