[論文レビュー] The incompressible Navier-Stokes equations on non-compact manifolds

Vittoria Pierfelice|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2014

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 51被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、特に双曲空間を含む、負のリッチ曲率を持つ非コンパクトなリーマン多様体上におけるボchnerラプラシアンの分散的および滑らかさに関する推定を確立し、それらを用いて非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のフジタ＝カトー型の大域的良設定性結果を証明する。さらに、エネルギー法およびグローヴァルの不等式を用いて、このような多様体上における2次元でのレーラー弱解の一意性を確立する。

ABSTRACT

We shall prove dispersive and smoothing estimates for Bochner type laplacians on some non-compact Riemannian manifolds with negative Ricci curvature, in particular on hyperbolic spaces. These estimates will be used to prove Fujita-Kato type theorems for the incompressible Navier-Stokes equations. We shall also discuss the uniqueness of Leray weak solutions in the two dimensional case.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間を超えて、負のリッチ曲率を持つ非コンパクトなリーマン多様体へ、カトー＝フジタのアプローチを非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式に拡張すること。
• 特に双曲空間を含む、このような多様体上におけるボchnerラプラシアンの分散的および滑らかさに関する推定を導出すること。
• これらの幾何的設定下で、臨界または亜臨界な初期データ条件下におけるナビエ＝ストークス系の解の大域的存在および一意性を確立すること。
• エネルギー等式およびグローヴァル型推定を用いて、非コンパクト多様体上における2次元でのレーラー弱解の一意性を証明すること。

提案手法

• 負のリッチ曲率を持つ非コンパクトなリーマン多様体上におけるボchnerラプラシアンの分散的および滑らかさに関する推定を、曲率に起因する減衰性質を活用して導出する。
• これらの推定を線形化されたナビエ＝ストークス系に適用し、フジタ＝カトーの固定点法の精神に従って良設定性を確立する。
• ホッジ分解およびレーラー射影を用いて圧力項を除去し、発散なしベクトル場上の非線形放物型方程式にシステムを還元する。
• デュハメルの公式を用いて、ナビエ＝ストークス方程式を適切なバナッハ空間上の関数の固定点問題に再定式化する。
• 非線形項をエネルギー推定で制御するために、ガリャルド＝ニレングラの不等式およびヤングの不等式を適用する。
• エネルギー等式およびグローヴァルの不等式を用いて、2次元におけるレーラー弱解の一意性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 負のリッチ曲率を持つ非コンパクトなリーマン多様体上におけるボchnerラプラシアンの分散的および滑らかさに関する推定を確立できるか？
• RQ2 これらの推定を用いて、このような多様体上における非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式の大域的良設定性を証明できるか？
• RQ3 負の曲率を持つ非コンパクト多様体上における2次元でのレーラー弱解の一意性は保持されるか？
• RQ4 非線形性および曲率の構造が解の正則性および一意性にどのように影響するか？
• RQ5 圧力項は、曲がった多様体上でのエネルギー等式および一意性証明においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 負のリッチ曲率を持つ非コンパクト多様体、特に双曲空間を含む、ボchnerラプラシアンの分散的および滑らかさに関する推定が確立された。
• これらの推定により、このような多様体上における非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式のフジタ＝カトー型の大域的良設定性結果が証明可能となった。
• 弱解に対してエネルギー等式が厳密に導出され、エネルギー保存則および発散なしの進化が保証された。
• 2次元におけるレーラー弱解の一意性は、2つの解の差にグローヴァルの不等式を適用することで証明された。
• H²上での非一意性の反例[32]は、圧力がL²_T L²に属するという提案された弱解の定義のおかげで除外された。
• 本手法により、臨界または亜臨界な空間に属する初期データが、エネルギーおよび非線形推定による一様な制御を伴う大域的解を生成することが保証された。