[論文レビュー] The independent set sequence of some families of trees

David Galvin, Justin Hilyard|arXiv (Cornell University)|Jan 9, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 15被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、周期的に付随する木を備えたパスや、多数の末端辺を付加したキャタピラーなど、再帰的に定義された木の族について、独立集合列の単峰性を確立する。生成関数と対数的凸多項式の性質を用いて、任意の頂点またはすべての頂点に十分多くの末端辺を追加することで、独立集合列が単峰的になることを証明し、非クラウフフリー木の広いクラスにおける単峰性を解決し、1987年から長年の未解決問題であった、すべての木が単峰的独立集合列を持つかどうかという問いに前進をもたらす。

ABSTRACT

For a tree $T$, let $i_T(t)$ be the number of independent sets of size $t$ in $T$. It is an open question, raised by Alavi, Malde, Schwenk and Erdős, whether the sequence $(i_T(t))_{t \geq 0}$ is always unimodal. Here we answer the question in the affirmative for some recursively defined families of trees, specifically paths with auxiliary trees dropped from the vertices in a periodic manner. In particular, extending a result of Wang and B.-X. Zhu, we show unimodality of the independent set sequence of a path on $2n$ vertices with $\ell_1$ and $\ell_2$ pendant edges dropped alternately from the vertices of the path, $\ell_1, \ell_2$ arbitrary. We also show that the independent set sequence of any tree becomes unimodal if sufficiently many pendant edges are dropped from any single vertex, or if $k$ pendant edges are dropped from every vertex, for sufficiently large $k$. This in particular implies the unimodality of the independent set sequence of some non-periodic caterpillars.

研究の動機と目的

• 1987年にアラヴィらが提起した、すべての木の独立集合列が単峰的であるかどうかという、長年の未解決問題を調査すること。
• クラウフフリー図やウェルカバードツリーを超えて、再帰的に構築された木の族への既知の単峰性結果を拡張すること。
• 末端辺の追加によって独立集合列が単峰的になる条件を特定すること。
• 例えばフィボナッチツリーのような再帰的に定義された木族が、単峰性を示す「実根性質」を持つかどうかを検討すること。
• 生成関数と係数解析を用いた構成的証明を通じて、特定の木の構成における単峰性を示すこと。

提案手法

• 木の独立多項式 $ p(G,x) = \sum_{t \geq 0} i_G(t) x^t $ を分析し、特に木の係数列に注目する。
• 対数的凸（LC+）および単峰的列の概念を適用し、実根を持つ多項式がLC+であり、したがって単峰的であるという事実を活用する。
• n-連結構成（n個の基底グラフGを、区間的な接続により結合する構成）を用いる。
• 二項係数 $ \binom{n}{k} $ の漸近的解析を用いて、$ g(x)(1+x)^n $ が十分大きな $ n $ に対して単峰的であることを示し、ここで $ g(x) $ は正の係数を持つ多項式である。
• LC+多項式の乗法および加法に関する閉包性質を用いて、生成関数を組み合わせる際の単峰性の保存を保証する。
• 各頂点に $ k $ 個の末端辺を追加することで、十分大きな $ k $ に対してLC+多項式が得られることを示し、$ p(G_k, x) $ の単峰性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アラヴィらが1987年に予想したように、すべての木について独立集合列は単峰的のままであるか？
• RQ2 パスに周期的に付随する木を付加することで得られる木族について、単峰性が成立するか？
• RQ3 木に末端辺を追加することで、独立集合列が単峰的になる条件は何か？
• RQ4 フィボナッチツリーのような再帰的に定義された木族が、単峰性を示す「実根性質」を持つのか？
• RQ5 すべてのキャタピラー、特に周期的でないものについて、独立集合列は単峰的か？

主な発見

• 任意の $ \ell_1, \ell_2 \geq 1 $ に対して、頂点に交互に $ \ell_1 $ 個および $ \ell_2 $ 個の末端辺が付加されたパスについて、独立集合列は単峰的である。これは王とB.-X. Zhuの結果を拡張する。
• 木の任意の頂点に十分多くの末端辺を追加すると、独立集合列は単峰的になる。
• 木のすべての頂点に $ k $ 個の末端辺を追加すると、十分大きな $ k $ に対して独立集合列は単峰的になる。これは、特定の非周期的キャタピラーについての単峰性を示唆する。
• $ K_{1,k} $ を中心頂点を指定してn-連結した場合の独立多項式は、すべての $ k \geq 1 $ に対して単峰的である。これは以前の結果を一般化する。
• フィボナッチツリー $ F_n $ の独立多項式は、すべての $ n $ に対して実根性質を持つ。これは単峰性を示唆し、以前のドラフトでの予想を確認する。