[論文レビュー] The Index Bundle for a Family of Dirac-Ramond Operators

Christopher L Harris|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 22被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなスピン多様体の族におけるディラック＝ラムド作用素のインデックスバンドルを、$ q $ のべき級数における係数をもつテンソル積のディラック作用素の形式的和として扱う。チャーン類のモジュラー性とヤコビ型形式を用いて、$ K(X)[[q]] $ におけるインデックスバンドルの明示的公式を導出し、8次元のストリング多様体で第一ポントリャーギン類が自明な場合、それが $ L(E_8) $ バンドルに一致することを特定する。

ABSTRACT

We study the index bundle of the Dirac-Ramond operator associated with a family $π: Z o X$ of compact spin manifolds. We view this operator as the formal twisted Dirac operator $\dd \otimes \bigotimes_{n=1}^{\infty}S_{q^n}TM_{\C}$ so that its index bundle is an element of $K(X)[[q]]$. When $p_1 (Z) = 0$, we derive some explicit formulas for the Chern character of this index bundle using its modular properties. We also use the modularity to identify our index bundle with an $L(E_8)$ bundle in a special case.

研究の動機と目的

• コンパクトなスピン多様体の族の文脈において、ディラック＝ラムド作用素のインデックスバンドルを定義し、研究すること。
• インデックスバンドルを $ K(X)[[q]] $ 内の、ねじれたディラック作用素のインデックスの形式的和として表現すること。
• モジュラー不変性とヤコビ型形式を用いて、インデックスバンドルのチャーン類の明示的公式を導出すること。
• 8次元のストリング多様体で $ p_1(Z) = 0 $ の場合、インデックスバンドルが $ L(E_8) $-バンドルに一致することを特定すること。

提案手法

• ディラック＝ラムド作用素を形式的ねじれたディラック作用素 $ \not{\partial} \otimes \bigotimes_{n=1}^\infty S_{q^n} TM_\mathbb{C} $ として扱い、$ K(X)[[q]] $ 内のインデックスを導出する。
• コhomological家族インデックス定理を用いて、$ \widehat{A} $- genus とチャーン類の積を介して、インデックスを特性類に関連付ける。
• イーゼンスタイン級数 $ E_2, E_4, E_6 $ のモジュラー性とヤコビ型形式を適用し、インデックスバンドルのチャーン類の明示的表現を導出する。
• ニュートンの恒等式を用いて、チャーン根のべき和をポントリャーギン類の式に変換し、$ \operatorname{ch}(W_n) $ の計算を可能にする。
• 生成関数 $ \sum_{n=0}^\infty q^n W_n = \bigotimes_{j=1}^\infty S_{q^j} W_\mathbb{C} $ を用いて、形式的バンドル係数を定義する。
• $ p_1(Z) = 0 $ の下でインデックス成分を比較することにより、既知の異常キャンセレーション公式と整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン多様体の族におけるディラック＝ラムド作用素のインデックスバンドルは、$ q $-adic係数をもつ $ K $-理論の観点から、どのように体系的に記述できるか？
• RQ2 インデックスバンドルのチャーン類を支配するモジュラー性とは何か？ そして、それらを用いて明示的公式を導出するにはどうすればよいか？
• RQ3 どのような場合に、ディラック＝ラムド作用素のインデックスバンドルは、$ E_8 $ ループ群の基本表現に関連する $ L(E_8) $-バンドルと一致するか？
• RQ4 インデックス成分 $ \operatorname{ch}_0 $, $ \operatorname{ch}_2 $ などは、非自明な $ p_1 $-類の下でどのように変化するか？ どのような関係が導かれるか？

主な発見

• $ p_1(Z) = 0 $ のとき、ディラック＝ラムド作用素のインデックスバンドルのチャーン類は、$ E_4(q) $, $ E_6(q) $ およびポントリャーギン類を含むモジュラーな表現で与えられる。
• インデックスバンドルは $ \operatorname{ch}_0(\operatorname{Ind} \not{\partial}^{V_1}) = 248 \operatorname{ch}_0(\operatorname{Ind} \not{\partial}) $ および $ \operatorname{ch}_2(\operatorname{Ind} \not{\partial}^{V_1}) = -496 \operatorname{ch}_2(\operatorname{Ind} \not{\partial}) $ を満たし、既知の異常キャンセレーション公式と一致する。
• 8次元のストリング多様体で $ \dim X < 16 $ の場合、$ (K(X) \otimes \mathbb{Q})[[q]] $ 内のインデックスバンドルは、$ E_8 $ ループ群の基本表現に関連する $ L(E_8) $-バンドルと同値である。
• $ \operatorname{ch}_0 $ および $ \operatorname{ch}_2 $ の明示的公式は、それぞれ $ \int_Y \frac{-31p_2(V)}{180} $ および $ \int_Y \frac{-13p_1(V)p_2(V) + 62p_3(V)}{7560} $ として、ファイバー上での積分として導出される。
• 生成関数 $ \bigotimes_{j=1}^\infty S_{q^j} W_\mathbb{C} $ を用いることで、インデックスバンドルがねじれたディラック作用素のインデックスの形式的和として表現可能となり、モジュラー解析が可能になる。
• チャーン類の展開から、$ \widehat{a}(V,\tau) e^{G_2(\tau)p_1(V)} $ が、$ \exp\left( \sum_{n=1}^\infty \frac{2}{(2n)!} G_{2n}(\tau) \operatorname{Tr}(y^{2n}) \right) $ を介してインデックスを符号化していることが明らかになる。これは、イーゼンスタイン級数とニュートンの恒等式を用いて再表現される。