[論文レビュー] The index growth and multiplicity of closed geodesics

Huagui Duan, Yiming Long|arXiv (Cornell University)|Mar 18, 2010

Advanced Differential Geometry Research被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンパクトな単連結なフィン슬ー多様体上の無理数的閉測地線のインデックス成長を分析することで、従来の閉測地線に関する結果を拡張している。モース理論とインデックス反復公式を用いて、任意のコンパクトな単連結な非可逆的または可逆的フィン슬ー4次元多様体に少なくとも2つの異なる素閉測地線が存在することを証明し、3次元多様体や球面に対する以前の結果を一般化している。

ABSTRACT

In the recent paper \cite{LoD1}, we classified closed geodesics on Finsler manifolds into rational and irrational two families, and gave a complete understanding on the index growth properties of iterates of rational closed geodesics. This study yields that a rational closed geodesic can not be the only closed geodesic on every irreversible or reversible (including Riemannian) Finsler sphere, and that there exist at least two distinct closed geodesics on every compact simply connected irreversible or reversible (including Riemannian) Finsler 3-dimensional manifold. In this paper, we study the index growth properties of irrational closed geodesics on Finsler manifolds. This study allows us to extend results in \cite{LoD1} on rational and in \cite{DuL1}, \cite{Rad4} and \cite{Rad5} on completely non-degenerate closed geodesics on spheres and $\CP^2$ to every compact simply connected Finsler manifold. Then we prove the existence of at least two distinct closed geodesics on every compact simply connected irreversible or reversible (including Riemannian) Finsler 4-dimensional manifold.

研究の動機と目的

• フィン슬ー多様体上の有理数的閉測地線から無理数的閉測地線への閉測地線の多重性結果の拡張。
• 球面や複素射影空間に関する先行結果を、すべてのコンパクトな単連結なフィン슬ー多様体へ一般化すること。
• コンパクトな単連結なフィン슬ー4次元多様体に少なくとも2つの異なる素閉測地線が存在することを確立すること。
• ボット型反復公式とモース指数理論を用いて、無理数的閉測地線の反復のインデックス成長特性を分析すること。
• ピンチング条件やバンプ条件を必要とせずに、高次元における多重性問題を解決すること。

提案手法

• 基本正規形分解における無理数的回転行列の存在に基づいて、素閉測地線を有理数的および無理数的タイプに分類する。
• 反復のモース指数にボット型反復公式を適用し、$ i(c^m) = \text{Tr}(D\tau^m) $ という式を用いる。ここで $ D\tau $ は線形化されたポアンカレ写像である。
• 恒等式 $ \frac{2T}{n} \text{Tr} \big( \text{和} \, m \text{ と } l_m \big) = T \tilde{i}(c) B(d,h) $ を用いて、自由ループ空間におけるベッチ数の成長を分析する。
• ベッチ数 $ b_{k} $ が偶数整数でなければならないことを利用して背理法を適用し、奇数である場合（例：$ b_1 = 1 \notin 2\bbN_0 $）に矛盾を導く。
• [LoD1] および [DuL1] の証明技法を非可逆的および可逆的フィン슬ーの場合に適応し、対称性とインデックスの単調性の性質を用いる。
• 平均インデックス $ \tilde{i}(c) = \text{平均インデックス} $ および $ B(d,h) $ が既知の位相的不変量であることを利用して、閉測地線の数に対するグローバルな制約を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元から4次元へのコンパクトな単連結なフィン슬ー多様体への、少なくとも2つの異なる閉測地線の多重性結果の拡張は可能か？
• RQ2 無理数的閉測地線のインデックス成長特性は有理数的閉測地線とどのように異なり、グローバルな多重性結果の導出に利用可能か？
• RQ3 自由ループ空間のベッチ数は、幾何的に異なる閉測地線の数にどのような制約を課えるか？
• RQ4 偶数のベッチ数に基づく背理法は、非可逆的フィン슬ー計量へ一般化可能か？
• RQ5 4次元の場合に、幾何的に異なる素閉測地線が1つだけ存在すると仮定した場合、インデックス反復によって矛盾が生じるか？

主な発見

• この論文は、任意のコンパクトな単連結な非可逆的または可逆的フィン슬ー4次元多様体が少なくとも2つの異なる素閉測地線を有することを証明している。
• 1つの幾何的に異なる素閉測地線しか存在しないと仮定すると、$ b_1 = 1 \notin 2\bbN_0 $ が生じ、インデックス反復から導かれるベッチ数の偶数性に反する。
• 無理数的閉測地線については、ボット型公式と恒等式 $ \frac{2T}{n} \text{Tr}(\text{和}) = T \tilde{i}(c) B(4,1) $ を用いてインデックス成長パターンを分析し、1つの測地線しか存在しない場合に矛盾を導く。
• 3次元多様体における有理数的測地線に関する先行研究および球面や $ \bbC P^2 $ における非退化測地線に関する結果を拡張し、今やすべてのコンパクトな単連結なフィン슬ー多様体をカバーしている。
• 証明は可逆的（リーマン計量を含む）および非可逆的フィン슬ー計量の両方に対して成り立ち、可逆的ケースでは証明の一部をわずかに修正する。
• 背理の核心的矛盾 $ 1 = b_1 = M_1 \notin 2\bbN_0 $ は、$ i(c) = 0,1,2 $ などの多くの場合に導かれ、1つの閉測地線の存在が不可能であることを確認している。