[論文レビュー] The index of a geodesic in a Randers space and some remarks about the lack of regularity of the energy functional of a Finsler metric

Erasmo Caponio|Repository of the Academy's Library (Library of the Hungarian Academy of Sciences)|Aug 1, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 8被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、静的からランダースへの対応（SRC）を用いて、ランダース空間における測地線のモーツィー指数と、関連する共形的定常ローレンツ時空におけるその未来指向光的上への持ち上げとの間の正確な対応関係を確立する。さらに、$H^1$曲線の空間におけるフィンスラー計量のエネルギー汎関数の正則性の欠如を分析し、零接ベクトルにおける計量の2次微分の滑らかでない性質により、エネルギーの2次変分が$C^2$でないことが示され、これがモーツィー理論への応用に影響を及ぼすことを明らかにする。

ABSTRACT

In some recent papers, the relations existing between the metric properties of Randers spaces and the conformal geometry of stationary Lorentzian manifolds were discovered and investigated. In this note, we focus on the equality between the index of a geodesic in a Randers space and that of its lightlike lift in the associated conformal stationary spacetime. Moreover we make some remarks about regularity of the energy functional of a Finsler metric on the infinite dimensional manifold of $H^1$ curves between two points, in connection with infinite dimensional techniques in Morse Theory.

研究の動機と目的

• ランダース空間における測地線のモーツィー指数と、関連する共形的定常ローレンツ時空におけるその未来指向光的上への持ち上げとの間の厳密な対応関係を確立すること。
• 2点を結ぶ$H^1$曲線の無限次元多様体上におけるフィンスラー計量のエネルギー汎関数の$C^2$正則性の欠如を調査すること。
• この正則性の欠如が、フィンスラー幾何学における無限次元モーツィー理論への応用に与える影響を明確にすること。
• 静的からランダースへの対応（SRC）を用いて、非滑らかフィンスラー計量への変分法の拡張のための幾何学的・解析的基盤を提供すること。

提案手法

• 静的からランダースへの対応（SRC）を用い、ランダース空間と標準的定常ローレンツ多様体との間の共形的双対写像を確立する。
• ランダース空間内の測地線$x(s)$を、$S \times \mathbb{R}$上での未来指向光的曲線$z(s) = (x(s), t(s))$に持ち上げる。ここで$t(s)$はランダース計量$R(x, \dot{x})$の積分により定義される。
• 定数$h$-速度パラメトライゼーションの下で、$x(s)$の持ち上げがローレンツ時空内での光的測地線となることを示す。ここで$h$はランダース計量のリーマン的成分である。
• ヒルベルト多様体$H^1_0([0,1], \mathbb{R}^n)$上でのエネルギー汎関数の2次変分を分析することにより、無限次元モーツィー理論の技法を適用する。
• 測度が$\epsilon$である小さな可測集合$J_\epsilon$上に台を持つテスト変分$\eta_\epsilon$、$\xi_\epsilon$を用いた背理法により、$F^2$の2次導関数が極限で消える必要があることを示し、$C^2$正則性の欠如を強調する。
• ルベーグ支配収束定理を用いて2次変分における誤差項を制御し、$v=0$における非滑らか性が、$\partial_v F^2$が基点において滑らかであれば、議論を妨げないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダース空間における測地線のモーツィー指数は、関連する共形的定常ローレンツ時空におけるその未来指向光的上への持ち上げの指数と一致するか？
• RQ2 フィンスラー計量のエネルギー汎関数は、$H^1$曲線の空間上でどの正則性クラスに属するのか。また、その正則性は変分法にどのように影響を与えるか？
• RQ3 零接ベクトルにおけるエネルギー汎関数の$C^2$滑らかさの欠如を厳密に分析し、それがモーツィー理論に与える影響を定量的に評価できるか？
• RQ4 フィンスラー計量の2次微分の滑らかでない性質にもかかわらず、静的からランダースへの対応（SRC）は指数情報をどのように保存するのか？

主な発見

• ランダース空間における測地線のモーツィー指数は、関連する共形的定常ローレンツ時空におけるその未来指向光的上への持ち上げの指数と等しい。
• フィンスラー計量のエネルギー汎関数は、$v=0$における$\partial_{vv}F^2(q,v)$の非滑らか性のため、$H^1$曲線の空間上で$C^2$でない。ただし、$\partial_v F^2$が$q$において滑らかである限り、この性質は成立する。
• $C^2$正則性の欠如にもかかわらず、$L^2$に基づく技法と可測なテスト変分を用いることで、エネルギー汎関数の2次変分を依然として分析可能であり、この設定においてモーツィー理論の適用が可能になる。
• 測度が$\epsilon$である集合$J_\epsilon$上に台を持つ$\epsilon$-依存変分$\eta_\epsilon$、$\xi_\epsilon$を用いた背理法により、2次変分が極限で消えることが示され、指数形式の必要な正則性条件が証明される。
• $v=0$における非滑らか性は、2次変分の公式の導出を妨げない。必要なのは、基点$q$における$\partial_v F^2$の滑らかさのみである。