[論文レビュー] The Index Theorem for Homogeneous Differential Operators on Supermanifolds

Dimitry Leites|ArXiv.org|Feb 18, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、同次空間上の同次楕円型作用素に対するボットのインデックス定理を超多様体へ拡張し、超群 $G = U(p|q)$ の表現環におけるウェイルのキャラクターフォーミュラによって、超多様体上の $G$-不変微分作用素の精製インデックスが決定されることを示している。主な結果は、インデックス $\chi(D) = [\text{Ker} D] - [\text{Coker} D]$ が $R(H)$ 内の記号類の形式的誘導に等しくなることであり、ボットの結果を超群へ一般化し、非典型表現では標準的なウェイルの公式ではなく、バーナイン＝ライツのキャラクターフォーミュラが必要であることが明らかになった。

ABSTRACT

In mid 60s Bott proved that (1) the index theorem for homogeneous, G-invariant, elliptic differential operators acting in the spaces of sections of induced representations of G over G/H reduces to the Weyl character formula and (2) the index of an equivariant elliptic operator does not depend on the operator, but on the representations. Here the same theorem is formulated for the unitary supergroup G=U(p|q). For atypical representations the character formula does not reduce to that for the Lie group underlying the supergroup G and this contradicts a statement of Rempel and Schmitt on index on supermanifolds (Pseudodifferential operators and the index theorem on supermanifolds. Seminar Analysis, 1981/82, 92--131, Akad. Wiss. DDR, Berlin, 1982; id., Pseudodifferential operators and the index theorem on supermanifolds. Math. Nachr. 111 (1983), 153--175).

研究の動機と目的

• コンパクトなリー群上の同次楕円型作用素に対するボットのインデックス定理を、超多様体および超群の設定へ一般化すること。
• 超多様体上の $G$-不変微分作用素の精製インデックスが、超群 $G = U(p|q)$ の表現論的データによって決定されることを確立すること。
• リムペルとシュミットの主張（超多様体上のインデックスは基礎となる多様体上のインデックスに還元可能）と矛盾することを解消し、非典型表現ではそうではないことを示すこと。
• 超多様体上のインデックス定理が、古典的公式ではなく、超ウェイルキャラクターフォーミュラに還元されることを示すこと、特に非典型表現において顕著である。
• 代数的超群表現論を用いて、インデックス理論およびリーマン–リーマン–グロタンディークの定理を超多様体へ拡張する基盤を提供すること。

提案手法

• 同次空間 $G/H$ 上の同次楕円型作用素に対するボットのオリジナルの証明戦略を、超群設定へ適応し、特に $G = U(p|q)$ に焦点を当てる。
• リー群の表現環 $R(G)$ を、${\mathbb{Z}}[\varepsilon]/(\varepsilon^2 - 1)$ 値をとる超表現環 $R(G)$ に置き換える。ここで $\varepsilon$ は $\varepsilon[M] = [\Pi(M)]$ を通じてパリティ反転を表す。
• 完成化された表現環 $\widehat{R}(G)$ 内で、精製インデックス $\chi(D) = [\text{Ker} D] - [\text{Coker} D]$ を定義し、通常の次元の代わりに超次元を用いる。
• $G$-不変ペアリング $<\cdot, \cdot>_G$ を用いて、$G$-モジュールの既約表現に沿った $i_*: R(H) \to \widehat{R}(G)$ として形式的誘導写像を定義する。
• 同次作用素 $D$ の記号を $s(D) = [K] - [L] \in R(H)$ と表現し、ここで $K$ と $L$ はそれぞれバンドル $E$ と $F$ を誘導する $H$-モジュールである。
• 証明により $\chi(D) = i_*(s(D))$ が成り立ち、インデックスが作用素 $D$ に依存せず、唯一表現データによって決定されることを示し、ボットの結果を超群へ一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $G$ が超群であるとき、同次楕円型作用素に対するボットのインデックス定理は、超多様体へ拡張可能か？
• RQ2 超多様体上の $G$-不変微分作用素のインデックスは、超群 $G = U(p|q)$ の表現論にどのように依存するか？
• RQ3 なぜ超設定下で非典型表現に対して古典的ウェイルキャラクターフォーミュラがインデックスを記述できないのか？
• RQ4 超多様体上のインデックス定理はキャラクターフォーミュラに還元可能か？ もしそうなら、どのフォーミュラか？
• RQ5 解析的または幾何的仮定を避ける純粋な代数的証明が、超多様体上のインデックス定理に対して可能か？

主な発見

• 超多様体上の $G$-不変楕円型作用素の精製インデックス $\chi(D)$ は、$R(H)$ 内の記号類の形式的誘導 $i_*(s(D))$ に等しく、ボットの結果を超群へ一般化した。
• 典型表現では超ウェイルキャラクターフォーミュラは古典的ウェイル公式に還元されるが、非典型表現ではバーナイン＝ライツのキャラクターフォーミュラが必要となる。
• インデックスは特定の作用素 $D$ に依存せず、$E$ と $F$ を誘導する $H$-モジュール $K$ と $L$ のみに依存する。これは、序列 $0 \to \text{Ker} D \to E \to F \to \text{Coker} D \to 0$ の完全性によって保証される。
• リムペルとシュミットの主張（超多様体上のインデックスは基礎となる多様体上のインデックスに還元可能）とは矛盾する。非典型表現は、基礎となるリー群では捉えきれない新たなキャラクターティックなデータを導入するためである。
• 証明は $G = U(p|q)$ のコンパクト性に依存しているが、著者は一般に成り立つと予想し、解析的手法に依存しない代数的証明により、より広範な設定でも成立すると考える。
• $G$-モジュールの仮想表現の環 $R(G)$ は、${\mathbb{Z}}[\varepsilon]/(\varepsilon^2 - 1)$-加群へ拡張され、$\varepsilon$ は超次元とパリティ反転を符号化し、これにより超インデックスが適切に定義可能となる。