[論文レビュー] The infinite potential well with moving walls

Kieran Cooney|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2017

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 22被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、壁が一定速度で移動する場合の既知の解を、ゆっくりと加速する壁へと拡張し、無限ポテンシャル井戸内の量子波動関数の時間発展を調査する。ヤコビの楕円テータ関数を用いて、初期波動関数の再発時刻および位置の解析的表現を導出し、非一様な境界運動を示す時間に依存する量子系における量子再発を理解するための枠組みを提供する。

ABSTRACT

In this work the evolution of a wavefunction in an infinite potential well with time dependent boundaries is investigated. Previous methods for wells with walls moving at a constant velocity are summarised. These methods are extended to wells with slowly accelerating walls. The location and time of the revivals in the well of the initial wavefunction are derived using Jacobi's elliptic theta function.

研究の動機と目的

• 定常速度で移動する壁を有する無限ポテンシャル井戸内の量子波動関数の既存の解を、ゆっくりと加速する壁の状況へと拡張すること。
• このような時間に依存する系における初期波動関数の再発時刻および空間的位置の解析的表現を導出すること。
• ヤコビの楕円テータ関数を用いて、非断熱的で時間変化するポテンシャル井戸における波動関数再発の周期的再現を特徴付けること。
• 標準的な時間に依存しない無限井戸を超えた量子力学的ダイナミクスを理解するための教育的でアクセスしやすい枠組みを提供すること。

提案手法

• 自由空間のシュレーディンガー方程式を保存する座標変換を用いて、時間に依存する井戸問題を解ける形に変換する。
• 従来、断熱的および動的位相近似を用いて解かれてきた定常速度壁問題の手法を、微小な加速度を有する系へと拡張する。
• 再発ダイナミクスは、初期波動関数形状の周期的再現を捉えるヤコビの楕円テータ関数を用いて分析する。
• 時間発展は、初期エネルギー固有値と時間依存する井戸幅を含む位相因子によってモデル化され、非慣性効果の補正が加えられる。
• 微小な加速度下でのシュレーディンガー方程式に摂動論を適用し、WKBに類似した近似を用いて修正された固有モードを導出する。
• エネルギー準位は摂動の1次まで補正され、その補正量は井戸内における有効ポテンシャルの積分に比例することが示され、量子数に依存しない1次近似となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 壁が一定速度で移動するだけでなく、微小な加速度を有する場合、無限ポテンシャル井戸内の波動関数再発はどのように変化するか？
• RQ2 時間に依存する無限ポテンシャル井戸で壁が加速する場合、初期波動関数の再発時刻および空間的位置を解析的に予測できるか？
• RQ3 ヤコビの楕円テータ関数は、このような系における波動関数状態の周期的再発を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ4 非断熱効果および非慣性力は、加速する井戸内における波動関数の位相発展にどのように影響を与えるか？
• RQ5 標準的な断熱近似は、時間に依存する量子系において微小な加速度を含めるために、どの程度まで拡張可能か？

主な発見

• ゆっくりと加速する壁を有する井戸内における初期波動関数の再発時刻は、ヤコビの楕円テータ関数を用いて導出され、再発周期の正確な予測が可能になる。
• 再発位置は、初期波動関数の形状および時間依存する井戸幅の関数として示される。
• 微小な加速度に対しては、エネルギー固有値が有効ポテンシャルの井戸内での積分に比例する量だけシフトし、そのシフトは1次近似において量子数に依存しない。
• 波動関数の時間発展は、微小な加速度が存在しても断熱近似と一致する動的位相因子によって支配される。
• 本手法により、定常速度壁の解が加速境界へと自然に一般化され、瞬時の固有モードの構造が保たれるとともに、時間依存位相補正が組み込まれる。
• 摂動的取り扱いにより、高次のモードが境界摂動に対してより感受性が低くなることが確認され、補正項がモード番号に反比例して変化することが示される。