[論文レビュー] The infinite unitary group, Howe dual pairs, and the quantization of constrained systems

N.P. Landsman|ArXiv.org|Nov 23, 1994

Advanced Operator Algebra Research参考文献 41被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ハウ双対対とシンプレクティック商を用いて、幾何学的量子化とリエッフェル誘導を用いて無限次元ユニタリ群 $U_0(\mathcal{H})$ の非可約ユニタリ表現を再構成する。Rieffel誘導による量子化は、半形式補正を無視するか、重みシフトを適用することでキリロフ＝オルシュァンスキーの表現を再現するが、これは制約付き系を量子化する際の潜在的な障害を示している。

ABSTRACT

The irreducible unitary representations of the Banach Lie group $U_0(\H)$ (which is the norm-closure of the inductive limit $\cup_k U(k)$) of unitary operators on a separable Hilbert space $\H$, which were found by Kirillov and Ol'shanskii, are reconstructed from quantization theory. Firstly, the coadjoint orbits of this group are realized as Marsden-Weinstein symplectic quotients in the setting of dual pairs. Secondly, these quotients are quantized on the basis of the author's earlier proposal to quantize a more general symplectic reduction procedure by means of Rieffel induction (a technique in the theory of operator algebras). As a warmup, the simplest such orbit, the projective Hilbert space, is first quantized using geometric quantization, and then again with Rieffel induction. Reduction and induction have to be performed with either $U(M)$ or $U(M,N)$. The former case is straightforward, unless the half-form correction to the (geometric) quantization of the unconstrained system is applied. The latter case, in which one induces from holomorphic discrete series representations, is problematic. For finite-dimensional $\H=\C^k$, the desired result is only obtained if one ignores half-forms, and induces from a representation, `half' of whose highest weight is shifted by $k$ (relative to the naive orbit correspondence). This presumably poses a problem for any theory of quantizing constrained systems.

研究の動機と目的

• 無限次元ユニタリ群 $U_0(\mathcal{H})$ の非可約ユニタリ表現を、量子化技術を用いて再構成すること。
• シンプレクティック還元とRieffel誘導が、余随伴軌道を量子化された空間として実現する役割を調査すること。
• 制約付き系の文脈において、半形式補正を適用した場合の量子化における不一致を扱うこと。
• 無限次元ユニタリ群における軌道と表現の対応を明確にすること。
• 無限次元リー群の文脈における双対対の設定において、Rieffel誘導の頑健性を検証すること。

提案手法

• ハウ双対対の枠組み内で、$U_0(\mathcal{H})$ の余随伴軌道をマーラン＝ワインスタインのシンプレクティック商として実現すること。
• Rieffel誘導を用いてこれらのシンプレクティック商を量子化し、$U(M)$ や $U(M,N)$ の表現を入力として用いること。
• 射影ヒルベルト空間の幾何学的量子化の結果と、Rieffel誘導の結果を比較すること。
• 正則離散的系列表現を誘導データとして用い、特に単純な軌道対応からの重みシフトを分析すること。
• 幾何学的量子化における半形式補正の効果を分析し、望ましい表現結果とその不適合性を特定すること。
• $U(M)$ または $U(M,N)$ を用いた還元と誘導を実行し、両ケースにおける一貫性を評価すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限次元ユニタリ群 $U_0(\mathcal{H})$ の非可約ユニタリ表現は、シンプレクティック還元とRieffel誘導を用いて再構成可能か？
• RQ2 半形式補正は、$U_0(\mathcal{H})$ の余随伴軌道の量子化においてどのような役割を果たすか？
• RQ3 正則離散的系列表現からの誘導が、重みシフトを加えない限り正しい表現を再現できないのはなぜか？
• RQ4 双対対は、無限次元設定における制約付き系の量子化をどのように支援するか？
• RQ5 これらの結果は、制約付き系の一般の量子化理論にどのような含意を持つのか？

主な発見

• 無限次元ユニタリ群 $U_0(\mathcal{H})$ の余随伴軌道は、ハウ双対対の構成を用いてシンプレクティック商として実現される。
• 射影ヒルベルト空間の幾何学的量子化は、期待されるフォック＝バーグマン表現をもたらす。
• 半形式補正を省いた $U(M)$ からのRieffel誘導は、正しい表現を再現する。
• $U(M,N)$ と正則離散的系列を用いる場合、正しい結果は、単純な対応からの重みシフトが $k$ だけ行われた場合にのみ得られる。
• 半形式補正は一貫性を損なうため、標準的な幾何学的量子化を用いた制約付き系の量子化には根本的な障害があることを示唆している。
• 重みを変更しないか、半形式補正を省略しない限り表現を再現できないという事実は、制約付き系の一般の量子化スキームに潜在的な欠陥がある可能性を示している。