[論文レビュー] The influence of the coefficients of a system of coupled wave equations with fractional damping on its stabilization

Mohammad Akil, Mouhammad Ghader+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 30, 2018

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 44被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、速度で結合された2つの1次元波動方程式の系の安定化を検討する。境界にCaputo型の分数階減衰（次数 α ∈ (0,1)）を1つだけ備える。周波数領域的手法と乗数法を組み合わせることで、結合パラメータ b、波速比 a、および分数階減衰次数 α に強く依存する最適な多項式エネルギー減衰率を確立する。主な結果は、波速が等しい（a=1）場合、b ∉ πℤ であれば減衰率は t⁻²⁄⁽¹⁻ᵃ⁾ であり、b ∈ πℤ であれば t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾ となる。波速が異なる場合、さまざまな a および b に関する条件下で減衰率は t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾ となる。

ABSTRACT

In this work, we consider a system of two wave equations coupled by velocities in one-dimensional space, with one boundary fractional damping. First, we show that the system is strongly asymptotically stable if and only if the coupling parameter b of the two equations is outside a discrete set of exceptional real values. Next, we show that our system is not uniformly stable. Hence, we look for a polynomial decay rate for smooth initial data. Using frequency domain approach combining with multiplier method, we prove that the energy decay rate is greatly influenced by the nature of the coupling parameter b, the arithmetic property of the ratio of the wave propagation speeds a, the order of the fractional damping. Indeed, under the equal speed propagation condition, we establish an optimal polynomial energy decay rate. Furthermore, when the wave propagate with different speeds, under some arithmetic conditions on the ratio of the wave propagation speeds, we prove that the energy of our system decays polynomially to zero.

研究の動機と目的

• 速度で結合された2つの波動方程式の系の安定化にあたって、特に結合パラメータ b、波速比 a、および分数階減衰次数 α の係数の影響を分析すること。
• 境界に1つの分数階減衰しか備えない状況において、系が一様または多項式エネルギー減衰を示すかどうかを特定すること。
• b、a、α に関するさまざまな条件下で、滑らかな初期データのエネルギーに対する最適な多項式減衰率を確立すること。
• √a の算術的性質（有理数対無理数）および b の小ささが減衰率を決定づける役割を調査すること。
• スカラーの分数階減衰波動方程式に関する既存の結果を、より複雑な間接的減衰を伴う結合系の状況に拡張すること。

提案手法

• 系の生成作用素のリソルベント成長を分析する周波数領域的手法を用い、スペクトル的性質と長時間エネルギー減衰を結びつける。
• 乗数法を適用してエネルギー推定を導出し、特に x=1 における分数階微分を含む境界項を制御する。
• リース基底性およびスペクトル解析を用いて、系の作用素の固有値と固有関数を特徴付ける。
• リーマン＝レーベルグの補題とディオファントス近似を用いた背理法により、一様安定性を否定し、多項式安定性を証明する。
• 結合項を扱い、周波数領域におけるエネルギーの時間発展を制御するためのパラメータ依存乗数を導入する。
• 複素平面におけるリソルベントノルムの漸近的挙動、特に虚軸付近の挙動を分析し、減衰推定を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 結合パラメータ b がどのような条件下にあれば、分数階減衰を伴う結合波動方程式系が強漸近的安定性を示すか。
• RQ2 なぜこの系は一様（指数的）安定でないのか。エネルギーの多項式減衰率はどのような要因に依存するか。
• RQ3 波動伝播速度比 a がエネルギー減衰率に与える影響は何か。特に a ≠ 1 の場合に注目する。
• RQ4 √a の算術的性質（有理数またはほとんどすべての無理数）が減衰率を決定づける役割を果たすか。
• RQ5 a が有理数だが √a が無理数である場合、結合パラメータ b の大きさが減衰率に与える影響は何か。

主な発見

• 結合パラメータ b が πℤ に属さない限り、系は強漸近的安定である。
• 系は一様安定ではなく、エネルギーは多項式的に減衰するが、指数的減衰ではない。
• 波速が等しい（a=1）場合、b ∉ πℤ であれば最適エネルギー減衰率は t⁻²⁄⁽¹⁻ᵃ⁾ であり、b ∈ πℤ であれば t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾ となる。
• 波速が異なる（a ≠ 1）場合、すべての有理数 √a およびほとんどすべての無理数 √a に対して、エネルギーは t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾ のオーダーで減衰する。
• a ∈ ℚ で √a ∉ ℚ かつ b が十分に小さい場合、減衰率は t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾ のまま維持される。
• 提示された条件下で、減衰率 t⁻²⁄⁽⁵⁻ᵃ⁾ は最適であり、残りの状況ではより遅い減衰が予想される。