[論文レビュー] The influence of the rolling resistance model on tippe top inversion

Alexander A. Kilin, Elena N. Pivovarova|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2020

Magnetic Bearings and Levitation Dynamics参考文献 19被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、さまざまな減衰力の配置における第一積分（Jellett、Lagrange、面積積分）の保存性を分析することにより、ローリング抵抗モデルの違いがチップトッピングの反転に与える影響を調査する。水平方向のトルクとしてローリング抵抗をモデル化した場合、面積積分が保存され、反転は発生しないが、Jellett積分を保存する特定の摩擦モデルのもとでは反転が可能であることが示された。

ABSTRACT

In this paper, we analyze the effect which the choice of a friction model has on tippe top inversion in the case where the resulting action of all dissipative forces is described not only by the force applied at the contact point, but also by the additional rolling resistance torque. We show that, depending on the friction model used, the system admits different first integrals. In particular, we give examples of friction models where the Jellett integral, the Lagrange integral or the area integral is preserved. We examine in detail the case where the action of all dissipative forces reduces to the horizontal rolling resistance torque. For this case we find permanent rotations of the system and analyze their linear stability. Also, we show that for this friction model no inversion is observed.

研究の動機と目的

• 水平面上を転がる不均衡な軸対称チップトッピングの動的挙動および反転行動に及ぼすローリング抵抗モデルの影響を分析すること。
• 異なる摩擦モデルにおける第一積分（Jellett、Lagrange、面積）がどのよう preserved されるかを特定すること。
• 水平方向のローリング抵抗トルクモデルにおける永久回転（上向きおよび下向きの垂直回転）の安定性を調査すること。
• 減衰力モデルに応じてチップトッピング反転が発生するか、または防止される条件を明確化すること。
• ローリングおよびスピン摩擦を含む状況における位相流れおよびアトラクターの定性的かつ定量的分析を提供すること。

提案手法

• 減衰力が作用する水平面上を転がる重い、不均衡な、軸対称なチップトッピングの運動方程式を定式化する。
• 接触力に加えて追加のトルクを含むローリング抵抗トルクモデルを導入し、標準的なすべり摩擦モデルとは異なるものとする。
• 運動学的関係と体固定座標系における回転力学を用いて系を分析し、回転行列を用いて姿勢を追跡する。
• 摩擦モデルの構造に応じて第一積分（Jellett、Lagrange、面積）を特定し、それらの保存性を検証する。
• 水平方向のローリング抵抗モデル下での永久回転解（上向きおよび下向きの垂直回転）の線形安定性分析を実施する。
• 初期条件および摩擦パラメータの変動に応じた位相流れのプロットを$(K_1, C)$平面上に描画し、軌道の進化およびアトラクター行動を可視化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローリング抵抗モデルの選択が、チップトッピング力学における第一積分の存在および保存性にどのように影響するか。
• RQ2 どの摩擦モデルの下でチップトッピング反転が観察され、どのモデルで防止されるか。
• RQ3 ローリング抵抗が水平トルクとしてモデル化された場合、面積積分が反転の不在を決定づける役割を果たす理由は何か。
• RQ4 水平方向のローリング抵抗トルクモデル下での永久回転（上向きおよび下向きの垂直回転）はどのように振る舞い、その安定性はどのような要因によって決定されるか。
• RQ5 小さなスピン摩擦を追加した場合、長期間にわたる動的挙動およびアトラクター間の遷移にどのような影響を与えるか。

主な発見

• ローリング抵抗を水平トルクとしてモデル化した場合、面積積分$ C $が保存され、チップトッピングの反転は発生しない。
• 水平ローリング抵抗モデルにおいて、安定な永久回転$ \rho_0 $および$ \rho_l $が存在し、$ |C| > C^* $では$ \rho_0 $が安定で、$ |C| < C^* $では$ \rho_l $が安定である。
• $ i_1 > i_3 $の場合、$ |C| > C^* $では軌道が$ \rho_0 $に近づき、$ |C| < C^* $では$ \rho_l $に近づくため、$ i_1 > i_3 $では反転が発生しない。
• スピン摩擦を導入した場合（$ \nu_s \neq 0 $）、面積積分$ C $はもはや保存されず、$ |C| > C^* $の初期段階で部分的な反転が観察される。
• 位相流れのプロットから、$ C $が時間とともに断続的に減少する間に、軌道が$ \rho_0 $から$ \rho_l $に移行することが示され、最終的に下位の平衡状態に停止することが確認された。
• 系は明確に分離された動的領域を示しており、初期には$ \rho_0 $に引きつけられ、その後$ \rho_0 $に沿った緩やかな進化が続き、$ |C| < C^* $に達すると$ \rho_l $への遷移が発生する。