[論文レビュー] The infrared limit of the Similarity Renormalization Group evolution and Levinson's theorem

E. Ruiz Arriola, S. Szpigel+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2014

Nuclear physics research studies参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿は有限の運動量グリッド上での類似性密度行列群（SRG）発展の赤方極限を調査し、Wegner型とWilson型の異なるSRG生成子が対角化されたハミルトニアンにおける固有値順序に顕著な差をもたらすことを示している。本研究では、エネルギーシフトに基づく位相シフト定義のもとで、特定の固有値順序、特にWegner生成子に由来する順序のみがレヴィンソンの定理を満たすことが確立されており、束縛状態の数え上げと整合的な等スペクトル的位相シフト抽出が可能であることが示された。

ABSTRACT

On a finite momentum grid with N integration points and weights the Similarity Renormalization Group (SRG) with a given generator G unitarily evolves an initial interaction with a cutoff on energy differences. This steadily drives the starting Hamiltonian in momentum space to a diagonal form in the infrared limit corresponding to a permutation of the eigenvalues and depends on G. Levinson's theorem establishes a relation between phase-shifts and the number of bound-states. We show that unitarily equivalent Hamiltonians on the grid generate reaction matrices which are compatible with Levinson's theorem but are phase-inequivalent along the SRG trajectory. An isospectral definition of the phase-shift in terms of an energy-shift is possible but requires in addition a proper ordering of states on a momentum grid in order to fulfill Levinson's theorem. We show how the SRG with different generators G induces different isospectral flows in the presence of bound-states, leading to distinct orderings in the infrared limit. While the Wilson generator induces an ascending ordering incompatible with Levinson's theorem, the Wegner generator provides a much better ordering, although not the optimal one. We illustrate the discussion with the nucleon-nucleon (NN) interaction in the 1S0 and 3S1 channels.

研究の動機と目的

• 有限の運動量グリッド上でのSRG発展の赤方極限とその位相シフト定義への影響を分析すること。
• 異なるSRG生成子（Wegner対 Wilson）が固有値順序に与える影響およびレヴィンソンの定理との整合性を調査すること。
• エネルギーシフト定義を用いて、SRG発展ハミルトニアンから一貫して等スペクトル的位相シフトを抽出できるかどうかを特定すること。
• 特に核子-核子相互作用において束縛状態が存在する状況下での位相シフト再構築の精度を評価すること。
• RMS誤差を最小化するように束縛状態固有値を配置する最適な運動量スケールを同定すること。

提案手法

• N 個の積分点と重みを用いた有限の運動量グリッド上でSRGフロー方程式を数値的に解く。
• Wilson生成子とWegner生成子の両方を用いてユニタリ変換を施し、初期ハミルトニアンを赤方極限（λ → 0）まで発展させる。
• 発展させたハミルトニアンを対角化し、異なる生成子に応じた固有値の順序を特定する。
• 固有値のエネルギーシフトに基づいて位相シフトを定義し、SRG経路に沿って等スペクトル性を保証する。
• 再構築された位相シフトをLippmann-Schwinger方程式の正確な解と比較し、精度を評価する。
• RMS誤差を最小化するように、エネルギーシフト規定における束縛状態固有値の位置を変化させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 SRG生成子の選択（Wegner 対 Wilson）が、有限の運動量グリッド上での赤方極限における固有値順序にどのように影響を与えるか？
• RQ2 エネルギーシフトに基づく位相シフト定義が、SRG経路に沿って等スペクトル的かつレヴィンソンの定理と整合的であるか？
• RQ3 Wegner生成子はWilson生成子に比べ、レヴィンソンの定理を満たすためにより優れた固有値順序を提供するか？
• RQ4 エネルギーシフト位相シフト規定における束縛状態固有値を配置する最適な運動量スケールは何か？
• RQ5 位相シフト再構築の精度は、グリッド点数Nと束縛状態固有値の位置にどのように依存するか？

主な発見

• Wilson生成子は束縛状態寄与を適切に扱えないため、昇順の固有値順序を生じさせ、レヴィンソンの定理と整合しない。
• Wegner生成子は、エネルギーシフトに基づく位相シフトがレヴィンソンの定理を満たすことができる優れた固有値順序を生成する。
• Wegner生成子を用いたSRG発展は、束縛状態固有値を配置すべき運動量スケールを正しく特定するが、わずかに最適位置を低めに推定している。
• RMS誤差を最小化する最適な束縛状態固有値位置 $p_{n_{ m BS}}^{ m opt}$ は、Wegner生成子に由来する $p_{n_{ m BS}}^{ m weg}$ とは異なることが判明し、改善の余地があることが示された。
• 連続極限において、最適な束縛状態運動量スケールは物理的ドデュートロン運動量 $\gamma = 0.23~{\rm fm}^{-1}$ に近づく傾向を示しており、普遍的スケーリング行動の兆候である。
• エネルギーシフトに基づく位相シフト定義は、有限グリッドの不確実性内において低運動量および高運動量領域の振る舞いを正確に再現でき、SRGベースの計算への応用が妥当であることを裏付けた。