[論文レビュー] The \infty eigenvalue problem and a problem of optimal transportation

Thierry Champion, Luigi De Pascale+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2008

Mathematics and Applications被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、p→∞におけるp-Laplacian固有値問題の漸近的極限を質量輸送に結びつける、最適輸送問題を介した∞-ラプラシアンの第一固有値および固有関数の新しい特徴付けを提示する。固有関数u∞は、内接円半径の逆数でスケーリングされた距離関数であることが示され、極限測度f∞の台がu∞の最大化点に含まれることを示し、u∞が輸送線に沿って粘性下解の性質を満たすことも示している。

ABSTRACT

The so-called eigenvalues and eigenfunctions of the infinite Laplacian $Δ_\infty$ are defined through an asymptotic study of that of the usual $p$-Laplacian $Δ_p$, this brings to a characterization via a non-linear eigenvalue problem for a PDE satisfied in the viscosity sense. In this paper, we obtain an other characterization of the first eigenvalue via a problem of optimal transportation, and recover properties of the first eigenvalue and corresponding positive eigenfunctions.

研究の動機と目的

• 最適輸送を用いた第一∞-固有値および固有関数の新しい特徴付けを提供すること。
• 輸送理論的手法を用いて、p→∞におけるp-Laplacian固有値問題の漸近的挙動を分析すること。
• 極限固有関数u∞の性質を確立すること、特に距離関数および内接円半径との関係を含むこと。
• 極限測度f∞の台の構造とu∞の最大化点との関係を調査すること。
• Ωの異なる領域におけるu∞のPDE的性質、特に輸送線に沿った性質を探索すること。

提案手法

• p→∞におけるp-Laplacian固有値問題の形式的漸近解析により、粘性解の意味での∞-固有値問題が導かれる。
• Rayleigh商および臨界値を用いてp-Laplacianの固有値を定義する。
• コスト関数|x−y|と、argmax u∞に台を持つ源測度f∞を持つ最適輸送問題(P∞)の導入。
• 輸送集合Tを、spt(f∞)に属するy1とp∂Ω(x)に属するy2の間の線分[y1,y2]の和集合として定義し、輸送線を形成する。
• 粘性解理論を適用して、T\(spt(f∞)∪∂Ω)で−Δ∞u∞≤0が成り立つことを示す。
• u_p→u∞の一様収束および(1−α/2)^{p−1}を含む点ごとの推定を用いて、f∞の台を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 第一∞-固有値および固有関数は、最適輸送問題を用いて特徴付け可能か？
• RQ2 極限測度f∞の台は、u∞の最大化点の集合に含まれるか？
• RQ3 固有関数u∞は、輸送線に沿って粘性解の意味で−Δ∞u∞≤0を満たすか？
• RQ4 argmax u∞とargmax dΩが一致する条件は何か？
• RQ5 輸送集合Tの構造は、Ωの異なる領域におけるu∞のPDE的挙動とどのように関係するか？

主な発見

• 第一∞-固有値はΛ∞ = 1/R1であり、R1はΩの内接円半径である。
• 極限固有関数u∞は、u∞(x) ≤ (1/R1)dΩ(x)を満たし、最大化点で等号が成り立つ。これにより、argmax u∞ ⊆ argmax dΩが導かれる。
• f∞の台はargmax u∞に含まれる。これは一様収束および(1−α/2)^{p−1}の減衰により示される。
• 輸送集合T\(spt(f∞)∪∂Ω)において、u∞は微分可能であり、粘性解の意味で−Δ∞u∞ ≤ 0を満たす。
• 各輸送線[y1,y2]に沿って、u∞(z) = Λ∞|z−y2|であり、任意のz∈]y1,y2[で|∇u∞(z)| = Λ∞が成り立つ。
• この結果は、spt(f∞) = argmax dΩであるという予想を支持しており、argmax集合の一致に関する未解決問題を解決する可能性を示している。