[論文レビュー] The initial-boundary value problem for the compressible viscoelastic fluids

Xianpeng Hu, Dehua Wang|arXiv (Cornell University)|Feb 22, 2011

Navier-Stokes equation solutions参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、有界領域における平衡状態の近くで3次元圧縮性粘弾性流体の初期境界値問題に対する強い解の全球的存在を確立する。エネルギー推定と重み付きソボレフ埋め込みを用いて、$q>3$ の $W^{1,q}$ 界の密度および歪み勾配を示し、2次元の場合にも拡張可能であることを示す。

ABSTRACT

The global existence of strong solution to the initial-boundary value problem of the three-dimensional compressible viscoelastic fluids near equilibrium is established in a bounded domain. Uniform estimates in $W^{1,q}$ with $q>3$ on the density and deformation gradient are also obtained. All the results apply to the two-dimensional case.

研究の動機と目的

• 有界領域における圧縮性粘弾性流体の初期境界値問題に対する強い解の全球的存在を確立すること。
• 3次元において、$q>3$ の条件下で密度および歪み勾配の均一な $W^{1,q}$ 評価を導出すること。
• 結果を2次元の場合に拡張すること。
• 密度 $\varrho = 1$、速度 $\mathbf{u} = 0$、歪み勾配 $\mathbf{F} = I$ の平衡状態の近くで系を解析すること。
• 粘弾性流体における運動エネルギーと内部弾性エネルギーの結合が引き起こす解析的課題を克服すること。

提案手法

• 平衡状態の周りでの摂動形に元の系を変換する。$\rho = \varrho - 1$ および $E = \mathbf{F} - I$ を用いる。
• $q > 3$ の $L^q$ 空間におけるエネルギー推定を用いて、解の成長を制御する。
• 重み付き $L^q$ 推定と補間技術を用いて、$\|\nabla \rho\|_{L^q}$ および $\|\nabla E\|_{L^q}$ を評価する。
• 初期条件から得られる平均値ゼロの性質を用いて、$\rho$ および $E$ にPoincaré不等式を適用する。
• 最大時間区間の議論と背理法を用いて、解が時間全域で存在することを証明する。
• Oldroyd型系の構造と粘性作用素の強い強凸性を活用して、エネルギー推定を閉じる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 圧縮性粘弾性流体の初期境界値問題に対する強い解は、平衡状態の近くで時間全域にわたり存在可能か？
• RQ2 $q > 3$ の条件下で、密度および歪み勾配に対する均一な $W^{1,q}$ 界はどのように確立できるか？
• RQ3 流体の運動と弾性記憶の結合は、解の長期的挙動にどのように影響するか？
• RQ4 3次元から2次元空間次元に結果を拡張可能か？
• RQ5 初期データの大きさは、全球存在を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 有界領域における3次元圧縮性粘弾性流体の初期境界値問題に対して、強い解の全球的存在が確立された。
• 密度 $\rho$ および歪み勾配 $E$ に対して、$q > 3$ の条件下で均一な $W^{1,q}$ 評価が得られた。
• 解はすべての時間 $t \in [0, \infty)$ で存在し、$\rho$ および $E$ の $W^{1,q}$ ノルムは時間全域で有界のまま保たれる。
• 結果は3次元および2次元の両方の空間次元に適用可能である。
• $\nabla \rho$ および $\nabla E$ の $L^q$ 推定は、エネルギー法とPoincaré不等式により制御される。
• 証明は、解の最大存在時間における背理法に依拠しており、解が有限時間に発散することはないことが示された。