[論文レビュー] The initial boundary value problem on the segment for the Nonlinear Schrödinger equation; the algebro-geometric approach. I

P. G. Grinevich, P. Santini|ArXiv.org|Jul 16, 2003

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 35被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、有限区間における非線形シュレーディンガー方程式（NLS）の初期境界値問題（IBVP）を、ディリクレ境界条件のもとで代数幾何学的手法によって解くことを提案する。初期分布を奇対称に2L周期関数として拡張し、周期的間隔にδ′型の点源を導入することで、IBVPは実数直線上の強制的周期的コーシー問題に再定式化される。主な結果は、スペクトルデータが代数的右辺を持つ常微分方程式（ODE）系に従って時間発展することであり、これによりダブロヴィン方程式とリーマン・シータ関数を用いて解を明示的に再構成可能である。

ABSTRACT

This is the first of a series of papers devoted to the study of classical initial-boundary value problems of Dirichlet, Neumann and mixed type for the Nonlinear Schrödinger equation on the segment. Considering proper periodic discontinuous extensions of the profile, generated by suitable point-like sources, we show that the above boundary value problems can be rewritten as nonlinear dynamical systems for suitable sets of algebro-geometric spectral data, generalizing the classical Dubrovin equations. In this paper we consider, as a first illustration of the above method, the case of the Dirichlet problem on the segment with zero-boundary value at one end, and we show that the corresponding dynamical system for the spectral data can be written as a system of ODEs with algebraic right-hand side.

研究の動機と目的

• 有限区間における非線形シュレーディンガー方程式（NLS）の初期境界値問題（IBVP）—特にディリクレ型、ノイマン型、混合型—を体系的に解くための手法を開発すること。
• 未知の境界値が散乱データの時間発展を複雑にするというIBVPにおける根本的困難を克服すること。
• 問題を実数直線上の強制的周期的コーシー問題に変換することで、有限ギャップ法および散乱変換法を標準でない境界条件へと一般化すること。
• 非周期的で有界な領域におけるNLSのスペクトル解析を可能にする、離散サイン・フーリエ変換の非線形アナログを確立すること。

提案手法

• 区間[0, L]における初期分布を、x = nL（n ∈ ℤ）におけるδ′型点源を伴う奇対称2L周期関数として拡張することで、ディリクレIBVPを実数直線上の強制的コーシー問題に変換する。
• 関連する周期的シュレーディンガー作用素のスペクトルデータは、直接周期的スペクトル変換によって構成され、初期代数幾何的データ {E_k(0), α_k(0), λ_k(0,0), μ_k(0,0), M_k(0)} を得る。
• スペクトルデータの時間発展は、補助線形問題および強制項の構造から導かれる、代数的右辺を持つODE系（64）–（72）、（76）、（77）に従う。
• スペクトルデータのx発展は、関連するリーマン面のヤコビ多様体上で線形化可能なx-ダブロヴィン方程式（34）によって記述される。
• 変換されたスペクトルデータから式（36）を用いてポテンシャルq(x,t)を再構成し、その[0,L]への制限が元のIBVPの解u(x,t)を与える。
• 解はヤコビ多様体を介してリーマン・シータ関数で明示的に表現可能であるが、通常はODEの直接数値積分の方がより効率的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限区間[0,L]におけるNLS方程式のディリクレIBVPは、周期的拡張と点源を用いて、実数直線上の可積分系に再定式化可能か？
• RQ2 未知の境界値が存在する状況で、散乱データの時間発展がどのように閉じるか。通常、これは可積分性を損なう。
• RQ3 このような再定式化の下で、代数幾何的スペクトルデータの時間発展を記述する力学系の構造は何か？
• RQ4 この手法は、非周期的かつ有界な領域における古典的な有限ギャップおよび散乱変換法をどの程度一般化できるか？
• RQ5 得られるスペクトルデータのODE系は、明示的または数値的に解けるか。また、その系は本質的な非線形力学を的確に捉えているか？

主な発見

• x=0で境界値がゼロである[0,L]におけるディリクレIBVPは、x = nL（n ∈ ℤ）にδ′型源を持つ奇対称2L周期関数としての実数直線上の周期的コーシー問題に等価である。
• スペクトルデータの時間発展は、代数的右辺を持つODE系（64）–（72）、（76）、（77）に従う。
• スペクトルデータのx発展は、ダブロヴィン型方程式（34）によって記述され、関連するリーマン面のヤコビ多様体上で線形化可能である。
• [0,L]における解u(x,t)は、式（36）を用いて変換されたスペクトルデータから再構成可能であり、バーグ・アキエイツェル関数およびリーマン・シータ関数を含む。
• 初期数値結果から、強制が終了した後、活性化するスペクトルモードの数が有限個に収束することが示唆されており、有効な有限次元力学を示している。
• 本手法は、一般のディリクレ型、ノイマン型、または混合境界条件を満たすNLS IBVPを解く体系的枠組みを提供する非線形的離散サイン・フーリエ変換のアナログを提供する。