[論文レビュー] The injectivity radius of hyperbolic surfaces and some Morse functions over moduli spaces

Matthieu Gendulphe|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、双曲的曲面上の固定された点から出る測地的ループの系統長の変分的考察を提供し、テイヒミュラー空間上でモース理論的枠組みを導入する。系統長関数の臨界点を同定し、非退化臨界点が系統ループが曲面を正多角形に分割する計量に対応することを示し、局所的最大値が一意的かつグローバルに最適であることを証明する。ボナオンのシアリング座標とヘッセ行列解析を用いて、バヴァールドおよびデブロアの先行する系統不等式を一般化する。

ABSTRACT

This article is devoted to the variational study of two functions defined over some Teichmueller spaces of hyperbolic surfaces. One is the systole of geodesic loops based at some fixed point, and the other one is the systole of arcs.\par For each of them we determine all the critical points. It appears that the systole of arcs is a topological Morse function, whereas the systole of geodesic loops have some degenerate critical points. However, these degenerate critical points are in some sense the obvious one, and they do not interfere in the variational study of the function.\par At a nondegenerate critical point, the systolic curves (arcs or loops depending on the function involved) decompose the surface into regular polygons. This enables a complete classification of these points, and some explicit computations. In particular we determine the global maxima of these functions. This generalizes optimal inequalities due to Bavard and Deblois. We also observe that there is only one local maximum, this was already proved in some cases by Deblois.\par Our approach is based on the geometric Vorono\''i theory developed by Bavard. To use this variational framework, one has to show that the length functions (of arcs or loops) have positive definite Hessians with respect to some system of coordinates for the Teichm\''uller space. Following a previous work, we choose Bonahon's shearing coordinates, and we compute explicitly the Hessian of the length functions of geodesic loops. Then we use a characterization of the nondegenerate critical points due to Akrout.

研究の動機と目的

• 双曲的曲面上の固定点から出る測地的ループの系統長に対する変分的枠組みを構築すること。
• マークされた点を持つテイヒミュラー空間上でのこの系統長関数の臨界点を特徴付けること。
• 系統長関数が位相的モース関数となる条件を特定し、非退化および退化臨界点を分類すること。
• バヴァールドおよびデブロアの最適系統不等式を一般化するために、系統長関数のグローバル最大値を計算すること。

提案手法

• テイヒミュラー空間をパラメトライズし、測地的ループの長さ関数のヘッセ行列を計算するためにボナオンのシアリング座標を用いる。
• 幾何的ボロノイ理論とアクラウトによる非退化臨界点の特徴付けを応用し、系統長関数の臨界構造を分析する。
• 非退化臨界点における系統ループによる曲面の正多角形への分割を分析し、そのトポロジー的分類を可能にする。
• 退化臨界点が、必ずや基点を通る閉測地的線を含む系統ループを持つ計量であることに正確に一致することを証明する。
• 弧に対するピーリング法を用いて、正則でない多角形への分割は厳密な局所最小値をもたらさないことを示し、臨界点の一意性を裏付ける。
• 系統長関数が、稠密な開部分集合 Teich(S,p) − Sing(S,p) 上で位相的モース関数であり、そのインデックスが系統ループの数から1を引いたものに等しいことを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定された点から出る測地的ループの系統長の臨界点は何か？
• RQ2 系統長関数が位相的モース関数となるのはいつか？ また、退化臨界点を示すのはいつか？
• RQ3 非退化臨界点において、基点における系統ループは曲面をどのように分割するか？
• RQ4 系統長関数のグローバル最大値は何か？ また、それは一意的か？
• RQ5 系統長関数は、最大の単射半径および標準的系統長とどのように関係するか？

主な発見

• 系統長関数 sys_p の退化臨界点の集合は、正確に Sing(S,p) に一致し、そこには少なくとも一つの系統ループが基点を通る閉測地的線である計量が含まれる。
• 稠密な開部分集合 Teich(S,p) − Sing(S,p) 上で、系統長関数 sys_p は非退化臨界点を持つ位相的モース関数である。
• 非退化臨界点において、基点から出る系統ループは曲面を正多角形に分割し、その臨界点のインデックスはそのようなループの数から1を引いたものに等しい。
• sys_p のグローバル最大値は一意的であり、系統ループが正三角形と1つの穴あきモノゴンに曲面を分割するときに達成される。
• グローバル最大値における系統長関数の値は、オイラー乗数、境界長、および逆双曲正弦関数を含む三角関数方程式の唯一の正の解である。
• この論文は、局所的最大値がグローバル最大値であることを確認し、デブロアの結果を点ごとの系統長関数へと拡張する。