[論文レビュー] The Instantaneous Formulations for Bethe Salpeter Equation and Radiative Transitions between Two Bound-States

Chao-Hsi Chang, Jiao-Kai Chen+1 more|ArXiv.org|Dec 20, 2003

Gas Dynamics and Kinetic Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、相互作用カーネルが瞬時的である場合、Bethe-Salpeter (BS) 波動関数の正エネルギーおよび負エネルギー成分を組み込むことで、瞬時のBS方程式および放射遷移振幅の定式化を開発する。主な貢献は、標準的なSalpeter方程式をフェルミオンと反フェルミオンの領域間の相対論的制約を含めるように拡張し、ポジトロニウムや charm 状態のような束縛状態における放射遷移計算を正確に保証する一貫性がありゲージ不変性を満たすフレームワークを確立することである。

ABSTRACT

The instantaneous formulations for the relativistic Bethe-Salpeter (BS) and the radiative transitions between the bound-states are achieved if the BS kernel is instantaneous. It is shown that the original Salpeter instantaneous equation set up on the BS equation with an instantaneous kernel should be extended to involve the `small (negative energy) component' of the BS wave functions. As a precise example of the extension for the bound states with one kind of quantum number, the way to reduce the novel extended instantaneous equation is presented. How to guarantee the gauge invariance for the radiative transitions which is formulated in terms of BS wave functions, especially, which is formulated in the instantaneous formulation, is shown. It is also shown that to `guarantee' the gauge invariance for the radiative transitions in instantaneous formulation, the novel instantaneous equation for the bound states plays a very important role. Prospects on the applications and consequences of the obtained instantaneous formulations are outlined.

研究の動機と目的

• 相互作用カーネルが瞬時のとき、Bethe-Salpeter方程式の一貫性のある瞬時の定式化を確立すること。
• BS波動関数の「小さな（負エネルギー）成分」を含めることで、標準的なSalpeter方程式を拡張すること。
• 瞬時の近似下でBS波動関数を介して定式化された放射遷移振幅におけるゲージ不変性を保証すること。
• 負エネルギー成分と制約方程式の導入が、放射遷移におけるゲージ不変性を維持するために不可欠であることを示すこと。
• 非相対論的有効理論（NRQED や NRQCD など）をフェルミオンと反フェルミオン領域間の相対論的相関を含めるように拡張する基盤を提供すること。

提案手法

• 相互作用カーネルを瞬時的であると仮定することで、ミンコフスキー空間における3次元的構造を示す瞬時のBethe-Salpeter方程式を導出する。
• 式 (30) に示される「負エネルギー成分の方程式」と、正負エネルギー成分を結ぶ「制約方程式」（式 (31)）を導入し、それらを解く。
• BS波動関数のスカラー成分のすべてについて連立された方程式を解くことで、全系の整合性を確保する。
• 拡張されたBS波動関数を用いて放射遷移振幅を定式化し、明示的な構成によってゲージ不変性を検証する。
• 遷移振幅におけるゲージ不変性を保存するための必要条件として、拡張された瞬時の式を用いる。
• 単一の量子数（例：J^PC）を持つ束縛状態に形式を適用し、拡張された方程式が解ける形に簡略化されることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 相互作用カーネルが瞬時のとき、正エネルギーおよび負エネルギー成分を両方含む一貫性のある瞬時のBethe-Salpeter方程式の定式化はどのように可能か？
• RQ2 正エネルギー成分と負エネルギー成分の間の制約方程式は、放射遷移におけるゲージ不変性を維持するために果たす役割は何か？
• RQ3 なぜ標準的なSalpeter方程式ではゲージ不変な放射遷移振幅が得られないのか？そして、どのように是正可能か？
• RQ4 拡張された瞬時の式は、NRQED や NRQCD などの非相対論的有効理論の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ5 提案された定式化は、ポジトロニウム や charm 状態といった現実的な系に定量的精度で適用可能か？

主な発見

• 式 (30) と (31) に示される負エネルギー成分と制約方程式の導入は、Bethe-Salpeter方程式の瞬時の定式化を一貫性を持って行うために不可欠である。
• 拡張された瞬時の式は、放射遷移振幅におけるゲージ不変性を保証するが、これは標準的なSalpeter方程式だけでは保証されない。
• 形式は、式 (III.1, III.1) に示されるように、BS波動関数のスカラー成分に関する一貫性のある連立式系に還元される。
• このフレームワークは、フェルミオンと反フェルミオン領域を最初から分離するNRQED や NRQCD などの非相対論的有効理論が、完全な相対論的BS方程式に内在する重要な相対論的相関を欠いていることを明らかにする。
• この手法により、ポジトロニウム や charm 状態のような束縛状態における放射遷移を高い精度で計算する道筋が得られ、すでに予備的な数値結果が得られている。
• 結果から、有効理論への補正には、フェルミオンと反フェルミオン成分間の相互作用に起因するセクター間の制約を含める必要があることが示唆される。