[論文レビュー] The Integral of the Riemann xi-function

Jeffrey C. Lagarias, David Montague|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2011

Analytic Number Theory Research参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、$\xi^{(-1)}(s) = \int_{1/2}^s \xi(w)\,dw$ として定義されるリーマンシグマ関数の積分を調査し、$s = \frac{1}{2}$ にちょうど1つの零点をもち、臨界線外に無限個の零点をもち、デ・ブリジン＝ニューマン定数の類似物が無限大であることを示している。研究では、フーリエ積分表現と関数方程式を用いて、$\xi^{(-1)}(s)$ に関連する1パラメータ族の関数の零点分布を分析している。

ABSTRACT

This paper studies the integral of the Riemann xi-function. More generally, it studies a one-parameter family of functions given by Fourier integrals and satisfying a functional equation. Members of this family are shown to have only finitely many zeros on the critical line, with the integral of the Riemann xi-function having exactly one zero on the critical line, at s = 1/2. The zeros of the integral of the xi-function are shown to lie arbitrarily far away from the critical line. An analogue of the de Bruijn-Newman constant is introduced for this family, and shown to be infinite.

研究の動機と目的

• リーマンシグマ関数の積分 $\xi^{(-1)}(s)$ の零点分布を分析すること、特に臨界線 $\mathrm{Re}(s) = \frac{1}{2}$ からの相対的位置を特定すること。
• デ・ブリジン＝ニューマン定数の枠組みを、フーリエ積分によって定義される1パラメータ族の関数に拡張し、その挙動を同定すること。
• $\xi^{(-1)}(s)$ や関連関数が臨界線上に有限個の零点しか持たないかを調査し、その零点位置がリーマン予想とどのように関係するかを検討すること。
• $\xi^{(-1)}(s)$ の漸近的挙動と構造的性質、特に零点の順序と間隔のパターンを調査すること。

提案手法

• $\xi^{(-1)}(s) = \int_{1/2}^s \xi(w)\,dw$ を定義し、関数方程式 $\xi^{(-1)}(s) = -\xi^{(-1)}(1-s)$ を満たすことを示す。
• 迅速に減少する関数 $\Phi(u)$ を用いたフーリエ積分表現 $\Xi^{(-1)}(z) = 2\int_0^\infty \Phi(u)\frac{\sin zu}{u}\,du$ を用いる。
• 関数 $\Xi_\lambda(z) = 2\int_0^\infty e^{\lambda u^2}\Phi(u)\cos zu\,du$ を用いて、1パラメータ族の関数 $\Xi_\lambda(z)$ を導入し、元の $\Xi(z)$ を一般化する。
• 数値計算と漸近的解析を用いて、特に第1象限において $\xi^{(-1)}(s)$ および $\xi^{(-1)}(s) - iA_0$ の零点集合を分析する。
• この族に対するデ・ブリジン＝ニューマン定数の類似物が無限大であることを確立し、変形下でも非実零点が避けられないことを示す。
• 零点分布の分析を容易にするために、$\Xi^{(-1)}(z) = -i\xi^{(-1)}(\frac{1}{2} + iz)$ のスケーリングを用い、実軸上で実数値関数となるようにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\xi^{(-1)}(s)$ は臨界線上に有限個の零点しか持たないか？ もし持つならば、その数はいくつか？
• RQ2 $\xi^{(-1)}(s)$ の零点のうち、臨界線から任意に遠く離れた場所にあるものは存在するか？
• RQ3 この関数族にデ・ブリジン＝ニューマン定数を一般化できるか？ その値は何か？
• RQ4 $\xi^{(-1)}(s)$ の零点の漸近的分布は何か？ また、滑らかな曲線に従うのか、それともGUEに類似したフラクチュエーションを示すのか？
• RQ5 第1象限における零点の虚部が単調増加することは、導関数 $\xi(s)$ がすべての零点を臨界線上に持つことを示唆するか？

主な発見

• 関数 $\xi^{(-1)}(s)$ は、$s = \frac{1}{2}$ にちょうど1つの臨界線上の零点をもつ。
• 臨界線から任意に遠く離れた場所に零点をもつ $\xi^{(-1)}(s)$ が存在し、これは無限大への逸脱を示している。
• この関数族に対するデ・ブリジン＝ニューマン定数の類似物は無限大であり、非実零点がすべての変形下でも持続することを意味する。
• 数値的データから、第1象限における $\xi^{(-1)}(s)$ の最初の500個の零点が滑らかな曲線上にほぼ等間隔に分布しており、規則的な漸近的構造を示唆している。
• $A_0 \approx 2.80668$ のとき、関数 $\xi^{(-1)}(s) - iA_0$ は下側半平面において臨界線上に有限個の零点しか持たず、高さ $T=160$ では約1/3の零点が臨界線上にある。
• $\xi^{(-1)}(s)$ の零点間隔は非常に規則的であり、最初の500個の零点においてGUEに類似したフラクチュエーションは観察されないが、ゼータ関数とは対照的である。