[論文レビュー] The integrals in Gradshteyn and Rhyzik. Part 2: Elementary logarithmic integrals

Victor H. Moll|arXiv (Cornell University)|Apr 30, 2007

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、R(x) が有理関数で m ∈ ℕ である形 ∫ₐᵇ R(x) lnᵐx dx の基本的な対数積分を評価する体系的な手法を提示する。置換、部分分数、多ログリム関数を用いて明示的な公式を導出し、単一および複数の極を含む有理関数に対する主要な結果を提示し、Li₂ および対数関数の有理関数としての閉形式表現を得ている。

ABSTRACT

We describe methods to evaluate elementary logarithmic integrals. The integrand is the product of a rational function and a linear polynomial in ln x.

研究の動機と目的

• R(x) が有理関数で m ∈ ℕ である形 ∫ₐᵇ R(x) lnᵐx dx の定積分を評価するための一般的な技法の開発。
• 特に m=1 までの対数項に注目し、単一および複数の実極をもつ有理関数のケースを扱う。
• 置換、部分分数、およびディログラム Li₂ などの特殊関数を用いて閉形式の表現を導出する。
• 複数の極をもつ高次有理関数の評価にあたっての再帰関係を確立する。
• 高次積分の解に現れる係数多項式の単峰性を示す。

提案手法

• 置換 x = bt を用いて、∫₀ᵇ xʲ lnᵐx dx の形の積分をガンマ関数型積分に還元する。
• 変数変換 t = e⁻ˢ を適用し、∫₀¹ tʲ lnᵏt dt = (−1)ᵏ k! / (j+1)ᵏ⁺¹ を評価する。
• ∫₀ᵇ ln x / (x + r) dx を、ln b ln(1 + b/r) と ∫₀ᵇˡⁿ⁻¹ ln t / (1 + t) dt の形に変換する。
• ディログラム関数を用いて ∫₀ᵇ ln t / (1 + t) dt を評価し、g(b) = ln b ln(1 + b) + Li₂(−b) を得る。
• hₙ(b) = ∫₀ᵇ ln t / (1 + t)ⁿ dt に対する再帰関係を導出し、ln b、ln(1 + b)、および有理関数としての明示的表現を得る。
• logarithmic および有理関数的成分を分離するために、qₙ(b) = (1 + b)ⁿ⁻¹ hₙ(b) を導入し、係数の体系的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P(x) が多項式であるとき、∫₀ᵇ P(x) lnᵐx dx の評価方法は何か？
• RQ2 r, b > 0 のとき、∫₀ᵇ ln x / (x + r) dx の閉形式評価は何か？
• RQ3 部分分数および多ログリム関数を用いて、∫ₐᵇ ln x / [(x + r₁)(x + r₂)] dx をどのように評価できるか？
• RQ4 n ≥ 2 のとき、∫₀ᵇ ln t / (1 + t)ⁿ dt の評価にあたっての再帰関係は何か？
• RQ5 高次対数積分の解に現れる係数多項式は単峰的か？

主な発見

• ∫₀ᵇ P(x) lnᵐx dx は、1 ≤ j ≤ deg(P)+1 および 0 ≤ k ≤ m の範囲で bʲ lnᵏb の線形結合であり、係数は (−1)ᵏ k! / (j+1)ᵏ⁺¹ を含む。
• ∫₀ᵇ ln x / (x + r) dx は ln b ln((b + r)/r) + Li₂(−b/r) に等しく、Li₂ はディログラム関数である。
• ∫₀¹ ln x / (1 + x) dx に対しては −π²/12 が得られ、Gradshteyn と Ryzhik の式 4.231.1 と一致する。
• n > 2 のとき、再帰関係 hₙ(b) = (n−2)/(n−1) hₙ₋₁(b) + b ln b / [(n−1)(1 + b)ⁿ⁻¹] + [1 − (1 + b)ⁿ⁻²] / [(n−1)(n−2)(1 + b)ⁿ⁻²] が成り立つ。
• Zₙ(b) = −b(1 + b) Tₙ(b)/(n−1)! により定義される多項式 Tₙ(b) は正の整数係数をもち、単峰的である。
• ∫₀ᵇ ln x / [(x + a)(x + b)] dx は (ln(ab)/2(b−a)) ln[(a + b)²/(4ab)] に等しく、Gradshteyn と Ryzhik の式 4.232.1 と一致する。