[論文レビュー] The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 10: the digamma function

Luis A. Medina, Victor H. Moll|ArXiv.org|Sep 21, 2007

Mathematical functions and polynomials参考文献 4被引用数 19

ひとこと要約

この論文は、ガンマ関数およびディガマ関数の積分表現と性質を用いて、グラドシュタインとリーズヒクの積分に含まれるディガマ関数 ψ(x) を含む定積分の解析的評価を提供する。主な結果として、∫₀^∞[e⁻ˣ − (1+x)⁻ᵃ]/x dx = ψ(a) が導出され、累乗および対数項を含む積分族へと拡張され、オイラー＝マスケローニ定数 γ や π などの特殊関数や定数と結びつけられる。

ABSTRACT

Many integrals in the classical table by Gradshteyn and Ryzhik can be evaluated in terms of the digamma function (= the logarithmic derivative of the gamma function). Some of them are presented here.

研究の動機と目的

• グラドシュタインとリーズヒクに掲載されたディガマ関数 ψ(x) を含む定積分を体系的に評価すること。
• 指数関数および有理関数を用いた ψ(a) の新しい積分表現を確立すること。
• これらの積分を、オイラー＝マスケローニ定数 γ や π などの既知の特殊関数や定数と結び付けること。
• 累乗、対数、ベータ関数を含む積分族への結果の拡張すること。
• 不完全ベータ関数を用いて (1+x)⁻¹ 項を含む積分の今後の評価の基盤を提供すること。

提案手法

• Frullani 型積分 ∫₀^∞(e⁻ᶻ − e⁻ˢᶻ)/z dz = ln s を用いて、∫₀^∞[e⁻ˣ − (1+x)⁻ᵃ]/x dx = ψ(a) を導出する。
• 積分表現 Γ′(a) = ∫₀^∞ e⁻ˢ sᵃ⁻¹ ln s ds を適用し、積分順序を入れ替えることで ψ(a) と関連付ける。
• 恒等式 ∫₀^∞(e⁻ᶻ − e⁻ˢᶻ)/z dz = ln s を用いて、指数関数および有理関数の項の差を評価する。
• 変数変換 w = −ln x、t = 1/(x+1)、u = xᵖ を適用し、積分を既知の形に変換する。
• ベータ関数およびその対数微分を用いて、(1−x)ᵇ⁻¹ または (1−x²)ⁿ⁻¹ 項を含む積分を評価する。
• ψ(x) および Γ(x) の相反および重複公式を用い、ψ(1/2) = −γ − 2ln 2 および ψ(1) = −γ などの結果を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにしてディガマ関数 ψ(a) を e⁻ˣ および (1+x)⁻ᵃ を含む定積分として表現できるか？
• RQ2 ∫₀^∞(e⁻ˣᵖ − e⁻ˣʲ)/x dx の解析的評価は、オイラー＝マスケローニ定数 γ を用いてどのように表されるか？
• RQ3 変数変換によって (1+x)⁻ᵃ を含む積分が、ベータ関数に関連する形にどのように変換されるか？
• RQ4 ∫₀¹ xᵃ⁻¹ ln(1−x) dx の形の積分とディガマ関数との関係は何か？
• RQ5 二パラメータ族 ∫₀^∞(e⁻ˣᵃ − 1/(1+xᵇ))/x dx は b に依存せずに独立に評価可能か？その値は何か？

主な発見

• a > 0 に対して、∫₀^∞[e⁻ˣ − (1+x)⁻ᵃ]/x dx = ψ(a) が成り立ち、ディガマ関数の基本的表現を提供する。
• 特殊ケース a = 1 では、∫₀^∞(e⁻ˣ − 1/(1+x))/x dx = −γ が得られ、式 3.435.3 に対応する。
• 恒等式 ∫₀^∞(e⁻ˣᵖ − e⁻ˣʲ)/x dx = (p−q)/(pq) γ が導出され、p = q = 2 の場合、∫₀^∞(e⁻ˣ² − e⁻ˣ²)/x dx = 0 となる。
• ∫₀^∞(e⁻ˣᵃ − 1/(1+xᵇ))/x dx に対しては、b に依存せず −γ/a が得られ、命題 11.1 で示されている。
• ∫₀¹ ln x / √[ⁿ](1−x²ⁿ) dx = −π/8 ⋅ B(1/(2n), 1/(2n)) / (n² sin(π/(2n))) が導出され、式 4.247.1 と一致する。
• ∫₀^∞ x e⁻ˣ (1−e⁻²ˣ)ⁿ⁻¹ᐟ² dx は (π/2²ⁿ⁺²) ⋅ (2ⁿ choose n) ⋅ (2ln 2 + ∑ₖ₌₁ⁿ 1/k) に評価され、式 3.457.1 に対応する。